1986　北海道大学MathJax

【１】　実数$a$に対して，集合$\{(x,y)|y\leqq -x^2+3a,y\geqq x^2-ax+a\}$を$D_a$で表す．

(1)　$D_a$が空集合とならない$a$の範囲を求めよ．

(2)　$1\leqq a\leqq 2$を満たすすべての$a$に対してつねに$(x,y)\in D_a$となる点$(x,y)$の集合を図示せよ．

【２】　$\theta$は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，$X=\left(\begin{array}{cc}0& -\tan \theta \\ \tan \theta & 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．このとき，$(E+X){(E-X)}^{-1}$で表される$1$次変換は，原点を中心とする回転であることを示せ．また，その回転角を，$\theta$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)=x^3-x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が減少しない$x$の範囲を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とし，$n\leqq x<n+1$の範囲で，$f(x)$の値が整数となる$x$の個数を$a_n$とする．$a_n$を，$n$を用いて表し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．

【４】　直線${\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y-3=z$を$g$とする．原点を通り，$g$と交わり，その交角が$60°$となる直線の方程式を求めよ．

【２】　球面$S$と直線$g$の方程式をそれぞれ

$x^2+y^2+z^2=25\text{，}{\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y-3=z$

とする．

(1)　$S$の中心を通り，$g$と交わり，その交角が$60°$となる直線の方程式を求めよ．

(2)　直線$g$に垂直な平面による$S$の切り口が，面積$7\pi$の円となるとき，その円の中心の座標を求めよ．

【３】　$g(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}\text{，}f(x)={\displaystyle \frac{g(a)+x}{1+g(a)x}}$とする．ただし，$a$は定数，$e$は自然対数の底である．

(1)　すべての実数$t$に対して，$f(g(t))=g(t+a)$を示せ．

(2)　$x_1=g(a)\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により数列$\{x_n\}$を定める．$a>0$として，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【４】　自然数$n$に対して，方程式$y=\log {\displaystyle \frac{x}{n}}$の表す曲線を$C_n\text{，}$原点$\mathrm{O}$から$C_n$に引いた接線の接点を${\mathrm{A}}_n$とする．ただし，$\log$は自然対数．

(1)　${\mathrm{A}}_n$は，$n$に関係のない定直線上に等間隔で並んでいることを示し，その定直線と間隔を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n\text{，}$曲線$C_n$および$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　数直線上の整数点$x=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$に，合計$n$個の黒または白の石を$1$つずつ，黒石どうしは隣り合わないように置く．黒石を$3$個使う置き方は何通りあるか．ただし，$n\geqq 5$とする．

【３】　自然数$n$に対して，方程式$y=\log {\displaystyle \frac{x}{n}}$の表す曲線を$C_n\text{，}$原点$\mathrm{O}$から$C_n$に引いた接線の接点を${\mathrm{A}}_n$とする．ただし，$\log$は自然対数．

(1)　曲線$C_2\text{，}x$軸および$2$直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}x=4$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)　${\mathrm{A}}_n$は，$n$に関係のない定直線上に等間隔で並んでいることを示し，その定直線と間隔を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x^3-x+{\displaystyle \frac{2}{3}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が減少しない$x$の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$y=f(x)$上を動くとき，$x$軸の正方向と点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線とのなす角を$\theta$とする．$\theta$の範囲を求めよ．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$n$を正の整数とし，$n\leqq x<n+1$の範囲で，$f(x)$の値が整数となる$x$の個数を$a_n$とする．$a_n$を，$n$を用いて表し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$を求めよ．