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1986-10007-0101
1986 室蘭工業大学
易□ 並□ 難□
【1】 行列 A =( ab cd ) は a2+ b2≠ 0 ,c 2+d 2≠0 , a⁢c +b⁢d =0 を満たしている.
(1) F=( a2+ b2 00 c2 +d2 ) とおくとき, A=F⁢ U を満たす行列 U を求め, U⁢U ′=( 1 0 01 ) が成り立つことを示せ.ただし, U′ は U =( pq r s ) とするとき,その行と列をとりかえた行列 ( pr qs ) を表す.
(2) (1)における行列 U による 1 次変換で円 x2+ y2= 1 はどのような曲線にうつされるか.
1986-10007-0102
【2】 空間の 2 点を A ( -3,1 ,-2 ), B (3 ,-1, 1) とし,ベクトル a → の成分を ( -1,- 4,4 ) とする. a→ をベクトル AB → に平行なベクトル b → と, AB→ に垂直なベクトル c → の和に表すとき, b→ ,c → の成分を求めよ.
1986-10007-0103
【3】 f⁡( x)= x3+ a⁢x2 +b⁢x +c とする.
(1) f⁡( x) が極大値と極小値をもつための条件を a , b ,c を用いて表せ.
(2) a ,b , c が(1)の条件を満たすとする.導関数 f ′⁡( x) の最小値を A , f⁡( x) の極大値を B , f⁡ (x ) の極小値を C とし, S=A+ B-C とする.このとき, S の値のうちで最小なものを求めよ.
1986-10007-0104
【4】 c>0 , f⁡ (x )= 1 2⁢ (e x+e -x ) とする.曲線 y =f⁡ (x ) の点 P ( c,f⁡ (c ) ) における接線を l1 , 点 ( c,0 ) を通り l 1 に垂直な直線を l 2 として, l1 と l 2 との交点を Q とする.
(1) f⁡ (x )2 -f ′⁡( x) 2 を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) の点 A ( 0,f⁡ (0 )) から P までの弧の長さ AP ⏜ は f ′⁡ (c ) に等しいことを示せ.
(3) P と Q との距離 PQ ‾ は AP ⏜ に等しいことを示せ.
1986-10007-0105
【5】(1) 級数 ∑n= 1∞ ( x -2x 2+x+ 2 )n -1 が収束するような実数 x の値の範囲を求めよ.
(2) (1)で求めた範囲の x に対して,この級数の和を f ⁡( x) とおく. f⁡( x) の最大値を求めよ.