1986　東京大学MathJax

【１】　$x$が$0\leqq x\leqq 3$という範囲を動くときの，関数$f(x)=2x^2-4ax+a+a^2$の最小値$m$が$0$となるような，定数$a$の値をすべて求めよ．

【２】　四点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を頂点とする四面体$T$において，各辺の長さが

$\mathrm{AB}=x\text{，}\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=5\text{，}\mathrm{CD}=4$

であるとき，$T$の体積$V$を求めよ．また，このような四面体が存在するような$x$の範囲を求めよ．またこの範囲で$x$を動かしたときの体積$V$の最大値を求めよ．

【３】　三次またはそれ以下の任意の整式$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$に対して，常に

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=uf(s)+vf(t)$

が成り立つような定数$u\text{，}v\text{，}s\text{，}t$を求めよ．ただし$s<t$とする．

【４】　平面$S$の一点$\mathrm{A}$と正数$\alpha \text{(}\alpha <180\text{)}$をとる．点の集合として$S$から$S$への写像$\varphi$が，次の三つ条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたすとき，$\varphi$は$\mathrm{A}$を中心とする正の向きの$\alpha °$回転とよばれる．

(ⅰ)　$\varphi (\mathrm{A})=\mathrm{A}$

(ⅱ)　$S$の任意の点$\mathrm{P}\text{（}\ne \mathrm{A}\text{）}$に対し，$\mathrm{AP}=\mathrm{A}\varphi (\mathrm{P})\text{，}\angle \mathrm{P}\mathrm{A}\varphi (\mathrm{P})=\alpha °$

(ⅲ)　人が三角形$\mathrm{P}\varphi (\mathrm{P})\mathrm{A}$の周を一周し，$\mathrm{P}\text{，}\varphi (\mathrm{P})\text{，}\mathrm{A}$の順に頂点を通るとき，三角形の内部は常に人の左側にある．

　いま$S$の上に相異なる二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$を中心とする正の向きの$60°$回転を$f\text{，}\mathrm{B}$を中心とする正の向きの$60°$回転を$g$とする．これに対し，$f$と$g$の合成写像$h=g\circ f$が，$h(\mathrm{P})=g(f(\mathrm{P}))$によって定義される．

(1)　このとき，点$h(\mathrm{A})$と$h(\mathrm{B})$は，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に対して，どのような位置にあるかを求め，図示せよ．

(2)　$h$はある点$\mathrm{O}$を中心とする正の向きの回転であることを示し，点$\mathrm{O}$および回転角を求めよ．

【１】　$xy$平面において，座標$(x,y)$が不等式

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}xy\leqq 1$

をみたすような点$\mathrm{P}(x,y)$の作る集合を$D$とする．三点$\mathrm{A}(a,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b)\text{，}\mathrm{C}(c,{\displaystyle \frac{1}{c}})$を頂点とし，$D$に含まれる三角形$\mathrm{ABC}$はどのような場合に面積が最大となるか．また面積の最大値を求めよ．ただし，$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}c>0$とする．

【２】　長軸，短軸の長さがそれぞれ$4\text{，}2$である楕円に囲まれた領域を$A$とし，この楕円の短軸の方向に，$A$を${\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$だけ平行移動してできる領域を$B$とする．このとき$A$と$B$の共通部分$C=A\cap B$の面積$M$を求めよ．ただし，${\displaystyle \frac{1}{4}}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$である．

注　方程式${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$で表される楕円において，$2a\text{，}2b$の内大きい方を長軸の長さといい，他方を短軸の長さという．

【３】(1)　$xyz$空間において，三点$\mathrm{A}(0,0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{B}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}},1)\text{，}\mathrm{C}(1,0,1)$を通る平面$S_0$に垂直で，長さが$1$のベクトル$\overrightarrow{n_0}$をすべて求めよ．

(2)　二点$\mathrm{D}(1,0,0)\text{，}\mathrm{E}(0,1,0)$を通る直線$l$を軸として，平面$S_0$を回転して得られるすべての平面$S$を考える．このような平面$S$に垂直で長さが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$の$y$成分の絶対値$|y|$は$S$と共に変化するが，その最大値および最小値を求めよ．

【４】　二次方程式$a{x}^2-2bx+c=0$の係数$a\text{，}b\text{，}c$が，それぞれ次の範囲を動くものとする．

$0.9\leqq a\leqq 1.1\text{，}2.7\leqq b\leqq 3.3\text{，}4.5\leqq c\leqq 5.4$

(1)　このとき$u={\displaystyle \frac{b}{a}}\text{，}v={\displaystyle \frac{c}{a}}$を座標とする点$\mathrm{P}(u,v)$の動く範囲を定め，図示せよ．

(2)　上の二次方程式の二つの解のうち，大きいほうを$z$とする．$a\text{，}b\text{，}c$が上の範囲を動くときの，$z$の最大値，最小値を求めよ．

【５】　ベンチが$k+1$個一列に並べてあり，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の二人が次のようなゲームをする．最初$\mathrm{A}$は左端，$\mathrm{B}$は右端のベンチにおり，ジャンケンをして勝った方が他の端に向って一つ隣りのベンチに進み，負けた方は動かないとする．また二人が同じ手を出して引き分けとなったときには，二人とも動かないとする．こうしてジャンケンを繰返して早く他のベンチの端に着いた者を勝ちとする．一回のジャンケンで，$\mathrm{A}$が勝つ確率，負ける確率，引き分けとなる確率はすべて等しいとき，次の確率を求めよ．

(1)　$n$回ジャンケンをした後に，二人が同じベンチに座っている確率$q$

(2)　$n$回ジャンケンをしたときに，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の移動回数がそれぞれ$x$回，$y$回である確率$p(x,y)$

(3)　$k=3$のとき$n$回のジャンケンの後に，まだゲームの勝敗がきまらない確率$p\text{，}$ただし$n\geqq 3$とする．

【６】　直円錐形のグラスに水が満ちている．水面の円の半径は$1\text{，}$深さも$1$である．

(1)　このグラスを右の図のように角度$\alpha$だけ傾けたとき，できる水面はだ円である．このだ円の中心からグラスのふちを含む平面までの距離$l$と，楕円の長半径$a$および短半径$b$を，$m=\tan \alpha$で表せ．ただし楕円の長半径，短半径とは，それぞれ長軸，短軸の長さの${\displaystyle \frac{1}{2}}$のことである．

(2)　傾けたときこぼれた水の量が，最初の水の量の${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとき，$m=\tan \alpha$の値を求めよ．ただしグラスの円錐の頂点から，新しい水面までの距離を$h$とするとき，残った水量は，${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi abh$に等しいことを用いよ．