1987　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　$a$を実数とし，$x$についての$3$次式

$f(x)=x^3-(5a+3)x^2$$+(6a^2+2a-9)x$$+6a^2+7a-5$

を考える．

(1)　$f(x)$は$x+\boxed{\text{ア}}$で割り切れ，その商は

$x^2-(\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}})x$$+\boxed{\text{エ}}{a}^2$$+\boxed{\text{オ}}a-\boxed{\text{カ}}$

となる．

(2)　$f(x)=0$の解は

$\boxed{\text{キク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}a-\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}$

で，これら三つの積が正となるような$a$の値の範囲は

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

を用いて，次の$\overline{)\text{1}}\text{，}$$\overline{)\text{2}}$のうちの$\boxed{\text{テ}}$で表される．

• $\overline{)\text{1}}p<a<q$
• $\overline{)\text{2}}a<p\text{，}a>q$

【２】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に，三角形$\mathrm{ABC}$が内接している．頂点$\mathrm{A}$は第$1$象限にあり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$で，辺$\mathrm{BC}$は直線$4x+3y=0$に平行である．

(1)　直線$\mathrm{OA}$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}x$であるから，点$\mathrm{A}$の座標は$\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\right)$である．

(2)　直線$\mathrm{BC}$の方程式を$4x+3y=k$としたとき，直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{OA}$との交点$\mathrm{M}$の座標は$\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}k\text{，}\frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}k}\right)$である．

(3)　$\angle \mathrm{BAC}=30°$のときは，

$\angle \mathrm{BOM}=\boxed{\text{スセ}}°\text{，}$$\mathrm{OM}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

であり，したがって

$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

となる．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\sqrt{3}\text{，}$$\angle \mathrm{A}=75°\text{，}$$\angle \mathrm{B}=45°$とする．

(1)　$\mathrm{AC}=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．

(2)　辺$\mathrm{BC}$上（ただし点$\mathrm{C}$を除く）を点$\mathrm{P}$が動くとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{CP}}{\sin \angle \mathrm{CAP}}}$の最小値は

$\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

である．

(3)　頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$におろした垂線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とし，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{F}$を$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=x$となるようにとる．このとき，

${\mathrm{DH}}^2+{\mathrm{EH}}^2$$=\boxed{\text{オ}}{x}^2$$-(\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}})x+\boxed{\text{コサ}}$

であり，これを最小にする$x$の値は

$x=\sqrt{\boxed{\text{シ}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$

である．

【４】

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$上にそれぞれ動点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．三角形$\mathrm{OPQ}$の重心を$\mathrm{G}$とし，点$\mathrm{R}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$

となるようにとると，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$

である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S$とすると，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が動くときに，

• 点$\mathrm{R}$が動く範囲の面積は$\boxed{\text{イ}}S$
• 点$\mathrm{G}$が動く範囲の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}S$

である．

【４】

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=13\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=12$ならば，

$\angle \mathrm{OBA}=\boxed{\text{オカ}}°$

である．この三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の中心を$\mathrm{I}\text{，}$半径を$r$とすると，

$r=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OI}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シス}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

である．

【５】　$f(x)=3x^2-3$とし，$y=f(x)$で表される曲線を$C\text{，}$$y=-3$で表される直線を$l$とする．

(1)　$a$は$0$と異なる実数とする．曲線$C$上の点$(a,f(a))$における接線と直線$l$との交点の$x$座標を$a_1$とすると，

$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．次に，曲線$C$上の点$(a_1,f(a_1))$における接線と直線$l$との交点の$x$座標を$a_2$とし，曲線$C$上の点$(a_2,f(a_2))$における接線と直線との交点の$x$座標を$a_3$とする．

　このようにして，数列$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$を定めると，

$a_n={\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\right)}^n\boxed{\text{オ}}$

となる．

(2)　曲線$C$上の点$(6,f(6))$における接線，直線$l$および曲線$C$で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{カキ}}$である．

(3)　直線$x=6\text{，}$直線$l$および曲線$C$で囲まれた部分を，直線$l$のまわりに回転させて出来る立体の体積は

${\displaystyle \frac{2^{\boxed{\text{ク}}}\times 3^{\boxed{\text{ケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}\pi$

である．

【６】　大，中，小の$3$個のサイコロを同時に振り，それらの目がそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$のとき，平面上の点$\mathrm{A}(a,b)$を次の点$\mathrm{B}$に移すものとする．

• $r$が奇数のとき，$\mathrm{B}(a+p,b+q)$
• $r$が偶数のとき，$\mathrm{B}(a-p,b-q)$

また，$M\text{，}$$N$を次の集合とする．

• $M=\{(x,y)|x>6\text{，}y>6\}$
• $N=\{(x,y)|x>0\text{，}y>0\}$

(1)　サイコロを$1$回振ったとき，点$\mathrm{A}(2,3)$が集合$M$の点に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(2)　サイコロを$1$回振ったとき，点$\mathrm{A}(2,3)$が集合$N$の点に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(3)　サイコロを$2$回振ったとき，点$\mathrm{A}(0,0)$が集合$M$の点に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサシ}}}}$である．

(4)　サイコロを$2$回振ったとき，点$\mathrm{A}(0,0)$が集合$N$の点に移動する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタチ}}}}$である．