1987　北海道大学MathJax

【１】　$x$の$2$次関数$x^2-2ax+b$の$x\leqq 1$における最小値を$m$とする．$a-2b\geqq 3$のとき，$m$の最大値を求めよ．

【２】　平面上に$2$直線

$l_1:y\cos \alpha -x\sin \alpha =0\text{，}{l}_2:y\cos \beta -x\sin \beta =0$

が与えられている．直線$l_1\text{，}{l}_2$に関する対称移動を表す行列をそれぞれ$A\text{，}B$とする．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$\alpha -\beta =\theta$とおくとき，積$AB$を$\theta$を用いて表せ．

【３】　$2$次方程式$x^2+x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とおく．

(1)　${\alpha }^n+{\beta }^n={\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}+{\alpha }^{n+2}+{\beta }^{n+2}$が成り立つことを示せ．ただし，$n$は自然数とする．

(2)　

$t_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\sqrt{5}}}\text{，}{s}_n={t_n}^2-t_n{t}_{n+1}-{t_{n+1}}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．$s_n$を$n$を用いて表し，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(2k-1)s_k$を求めよ．

【４】　$x$の$2$つの関数

$f(x)=2x^3-3a{x}^2+a^3-3a+3$

$g(x)=3x^2-6ax+3a^2$

について，次の問に答えよ．

(1)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$の$x=t$における接線が平行となる$t$の値を求めよ．ただし，$a>1$とする．

(2)　(1)で定まる$2$組の接線が囲む図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が$1<a\leqq 3$の範囲を動くとき，$S$の最大値および$S$が最大となる$a$の値を求めよ．

【２】　平面上に$2$直線

$l_1:y\cos \alpha -x\sin \alpha =0\text{，}{l}_2:y\cos \beta -x\sin \beta =0$

が与えられている．直線$l_1\text{，}{l}_2$に関する対称移動を表す行列をそれぞれ$A\text{，}B$とする．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$\alpha -\beta =\theta$とおくとき，積$AB$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　${(AB)}^2=BA$を満たす$\theta$の値を求めよ．ただし，$0<\theta <\pi$とする．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に，次の(ⅰ)，(ⅱ)を満たす点列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$がある．ただし，${\mathrm{P}}_0$の座標は$(1,0)$とする．

(ⅰ)　$\angle {\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$は$n$とともに単調に増大し，$\underset{n\to \infty }{\lim }\angle {\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n=2\pi$である．

(ⅱ)　数列$\{\angle {\mathrm{P}}_{n-1}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は初項$\theta \text{（}\theta >0\text{），}$公比$r\text{（}r>0\text{）}$の等比数列である．

(1)　$\theta$と$r$との関係式を求めよ．

(2)　$\alpha$は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\alpha <\pi$を満たす定数とする．おうぎ形${\mathrm{P}}_{n-1}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の面積を$S_n$とするとき，

$\alpha =S_1+S_5+S_9+\cdots +S_{4n-3}+\cdots$

を満たす$r$はただ$1$つ存在することを示せ．

【４】　実数全体で定義された連続な関数$f(x)$に対して，$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\sin (x-t)dt$とする．

(1)　$F^{″}(x)+F(x)=f(x)$となることを証明せよ．

(2)　$F(x)=f(x)-x{e}^{-x}$が成り立つ$f(x)$を求めよ．

【５】　$3$個のサイコロを同時に投げる試行において，サイコロの目が連続した$3$つの自然数となる事象を$\mathrm{A}$とする．この試行をくり返し行うとき，次の問に答えよ．

(1)　$n$回目に初めて事象$\mathrm{A}$が起こる確率を求めよ．

(2)　$1$回目から$n$回目までの試行のうちに事象$\mathrm{A}$が少なくとも$1$回起こる確率を求め，この確率が$0.5$以上となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として計算せよ．

(3)　この試行を$4$回くり返すとき，事象$\mathrm{A}$の起こる回数を$X$とする．$X$の期待値（平均）$E(X)$を求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に，次の(ⅰ)，(ⅱ)を満たす点列${\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$がある．ただし，${\mathrm{P}}_0$の座標は$(1,0)$とする．

(ⅰ)　$\angle {\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$は$n$とともに単調に増大し，$\underset{n\to \infty }{\lim }\angle {\mathrm{P}}_0\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n=2\pi$である．

(ⅱ)　数列$\{\angle {\mathrm{P}}_{n-1}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は初項$\theta \text{（}\theta >0\text{），}$公比$r\text{（}r>0\text{）}$の等比数列である．

(1)　$\theta$と$r$との関係式を求めよ．

(2)　おうぎ形${\mathrm{P}}_{n-1}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n$の面積を$S_n$とするとき，

${\displaystyle \frac{4}{7}}\pi =S_1+S_4+S_7+\cdots +S_{3n-2}+\cdots$

を満たす$r$を求めよ．

【５】　一定の温度$K$を保つ液体に温度計を挿入し温度を測定した．温度計の示した温度$T$は，ある時刻に$T_0\text{，}$その$5$秒後は$T_1\text{，}$さらに$5$秒後は$T_2$であった．温度計の示す温度の変化の速さは，$T-K$に比例するものとして，$K$を$T_0\text{，}{T}_1\text{，}{T}_2$で表せ．ただし，比例定数は$0$でないとし，$T>K$とする．