1987　東京大学MathJax

【１】　行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& z\\ z& y\end{array}\right)$が条件

$X^2-4X+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

をみたすとき，このような$x\text{，}y$を座標とする点$(x,y)$が存在する範囲を図示せよ．ただし，行列の成分は実数とする．

【２】　$a$を正の定数とし，$x$の関数$f(x)=x^3-a{x}^2-a^{2}x$のグラフを$C$とする．$f(x)$が極大となる$x$の値を$b$とするとき，点$(b,f(b))$における$C$の接線と$C$とによって囲まれる部分の面積を$a$で表せ．

【３】　$t$の関数$f(t)$を$f(t)=1+2at+b(2t^2-1)$とおく．区間$-1\leqq t\leqq 1$のすべての$t$に対して$f(t)\geqq 0$であるような$a\text{，}b$を座標とする点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【４】　三つの実数$x\text{，}y\text{，}z$のうち最大の数を$\max (x,y,z)$で表し，最小の数を$\min (x,y,z)$で表す．いま，次の条件をみたす$x\text{，}y\text{，}z$を座標とする点全体の集合を$\mathrm{R}$とする．

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$

$\max (x,y,z)\leqq a$

$x+y+z-\min (x,y,z)\leqq a+b$

　$\mathrm{R}$の体積を求めよ．ただし，$a\text{，}b$は実数で，$a>b>0$とする．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$の表す$xy$平面の$1$次変換が，直線$y=2x+1$を直線$y=-3x-1$へうつすとする．点$\mathrm{P}(1，2)$がうつる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とするとき，二直線$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OQ}$のなす角の大きさを求めよ．

【２】　点$(x,y)$を点$(x+a,y+b)$にうつす平行移動によって曲線$y=x^2$を移動して得られる曲線を$C$とする．$C$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{，}x>0$が接するような$a\text{，}b$を座標とする点$(a,b)$の存在する範囲の概形を図示せよ．

　また，この二曲線が接する点以外に共有点を持たないような$a\text{，}b$の値を求めよ．ただし，二曲線がある点で接するとは，その点で共通の接線を持つことである．

【３】　$xyz$空間内の点$\mathrm{P}(0,0,1)$を中心とする半径$1$の球面$K$がある．

　$K$上の点$\mathrm{Q}(a,b,c)$が条件$a>0\text{，}b>0\text{，}c>1$のもとで$K$上を動くとき，$\mathrm{Q}$において$K$に接する平面を$L$とし，$L$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．このような三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最小値を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，点$\mathrm{P}$は$yz$平面上の放物線$z=1-y^2$上にあるとする．点$\mathrm{A}(1,0,1)$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線を$x$軸のまわりに回転して得られる曲面と二平面$x=0\text{，}x=1$とによって囲まれる部分の体積を$V$とする．$V$を$\mathrm{P}$の$y$座標で表せ．また$V$の最小値を求めよ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．$x_1\geqq x_2\geqq \cdots \geqq x_n$および$y_1\geqq y_2\geqq \cdots \geqq y_n$を満足する数列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$および$y_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$が与えられている．$y_1\text{，}{y}_2\text{，}\cdots \text{，}{y}_n$を並べかえて得られるどのような数列$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_n$に対しても

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}{(x_j-y_j)}^2\leqq {\displaystyle \sum _{j=1}^n}{(x_j-z_j)}^2$

が成り立つことを証明せよ．

【６】　正六角形の頂点に$1$から$6$までの番号を順につける．また$n$個のサイコロを振り，出た目を番号とするすべての頂点にしるしをつけるものとする．このとき，しるしのついた三点を頂点とする直角三角形が存在する確率を$p_n$とする．

(1)　$p_3\text{，}{p}_4$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (1-p_n)$を求めよ．