1987　京都大学　A日程MathJax

【１】　$x$の$3$次式

$f(x)=a{x}^3+(a^2+b)x^2+(2ab+c)x+a^2+b^2-a$

$g(x)=a{x}^3+(a^2-b)x^2+(a-1)x+c^2-b^2$

および$x$の$2$次式

$h(x)=x^2+ax+b$

を考える．（$a\text{，}b\text{，}c$は定数，$a\ne 0$）

　$f(x)\text{，}g(x)$はともに$h(x)$で割り切れるか，または，ともに$h(x)$では割り切れないかの，いずれかであることを示せ．

【２】　定数$a\text{，}p\text{，}q$に対して，次のように$x_n\text{，}{y}_n$の列を作る．

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-a& -1-a\\ -1+a& -1+a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

(1)　$x_2\text{，}{y}_2\text{，}{x}_3\text{，}{y}_3$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{2}}<a<{\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【３】　正の数$a$を用いた係数をもつ方程式

$a\{x-(a^2+a-2)\}+y+2=0$

の定める直線が，$x$軸，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$と交わる点を，それぞれ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が次の$2$条件をみたすような正の数$a$の範囲を求めよ．

(1)　$\mathrm{A}$は$x$軸の正の部分にある．

(2)　原点$\mathrm{O}$と，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の点は鈍角三角形を作る．

【４】　$4$人でジャンケンをし，負けたものが順次去って，残りでジャンケンをして，勝者が一人になるまで続けるものとする．また，$4$人はそれぞれ独立に，グー（石），チョキ（はさみ），パー（紙）を確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で出すものとする．

(1)　$1$回でゲームが終了する確率$p_1$および$2$回目の勝負が$m$人（$m=2\text{，}3\text{，}4$）で行われる確率$p_m$を求めよ．

(2)　$2$回でこのゲームが終了する確率$q$を求めよ．

【５】　長さ$1$の針金を二つに切り，その一つで円周を作り，残りで$2$辺の長さの比が$1:k$（$k$は正の定数）の長方形を作る．

(1)　この円と長方形の面積の和を最小にするためには，針金をどのように切ればよいか．

(2)　$k$をいろいろ変えたとき，(1)の円と長方形の面積の和の最小値$S\left(k\right)$が最大になるような$k$の値を求めよ．

【３】　不等式$a\cos 2\theta +b\cos \theta <1$がすべての実数$\theta$について成り立つような点$(a,b)$の範囲を図示せよ．

【４】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数）のグラフ$y=f(x)$と，定数$m$とを考える．

(1)　このグラフの接線で傾き$m$のものは何本あるか．

(2)　傾き$m$の接線が$2$本ある場合について，その接線$l_1\text{，}{l}_2$の接点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$とし，$l_1\text{，}{l}_2$がグラフと交わる他の点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とすれば，${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1={\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$であることを示せ．

【５】　空間において，平面$ax+y+z+a-2=0$（$a$は定数）を考える．

(1)　この平面上の点のうち原点に一番近いものの座標を求めよ．

(2)　原点を中心とする半径$3$の球体がこの平面で分けられる二つの部分のうち，体積の大きくない方の体積を$V(a)$とする．$a$をいろいろ変えたとき，$V(a)$が最小になる$a$と，そのときの$V(a)$の値を求めよ．

【６】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}3$人がいて，それぞれ，赤札と白札を$1$枚ずつ持っている．この状態から出発して，次のような札の移動を何回か行う．

　各回の移動では，$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$に，$\mathrm{B}$は$\mathrm{C}$に，$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}$に，持っている$2$枚の札のうち$1$枚を無作為に選んで，同時に渡す．

(1)　何回かの移動の後起こりうる札の状態を全部書き上げ，それらに$F_0\text{，}{F}_1\text{，}{F}_2\text{，}\cdots$というように記号をつけよ．ただし，最初の状態には$F_0$をつけよ．

(2)　上で得た各状態$F_i$から$1$回の移動で$F_j$になる確率$p_{ij}$をそれぞれ求めよ．

(3)　最初の状態から$n$回移動したとき，$F_0$の状態にかえっている確率$q_n$を求めよ．