1988　共通一次試験　本試験MathJax

【１】　$x$についての二つの$2$次方程式

• $2x^2-2ax-a+1=0\cdots \text{①}$
• $x^2-2(a-1)x-2a+1=0\cdots \text{②}$

がある．

(1)　方程式$\text{①}$は$a=\boxed{\text{アイ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$のとき，重複解（重解，重根）$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}a$をもつ．

(2)　方程式$\text{②}$の解は

$\boxed{\text{カキ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}a-\boxed{\text{ケ}}$

である．

　また，方程式$\text{①}\text{，}$$\text{②}$が共通の解をもつような$a$の値とその共通解$x$との組$(a,x)$は

$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}})\text{，}$$(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セソ}})\text{，}$${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}},\frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}})}$

である．

【２】　放物線$C:y=x^2-3x$の軸上に定点$\mathrm{A}$をとり，その$y$座標を$a$とする．また，点$\mathrm{P}(x,y)$は$C$上を動くものとし，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{B}(b,c)$にあるとき，$\mathrm{AP}$が最小になるものとする．

(1)　放物線$C$の頂点の$y$座標は，$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　${\mathrm{AP}}^2={(y-a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}})}^2+a+\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　

• $a>{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，$c=a-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
• $a\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，$c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．

(4)　$a=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$または${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$であり，さらに$\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，

$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=60°$

とする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{アイ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$である．

(2)　$\mathrm{AC}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\cos \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(3)　辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとって，線分$\mathrm{PQ}$を折り目として三角形$\mathrm{ABC}$を折ると，頂点$\mathrm{A}$が辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$に重なったという．このとき，

$\mathrm{AM}=\sqrt{\boxed{\text{ケコ}}}\text{，}$$\mathrm{MP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$$\mathrm{MQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$

である．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{C}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．このとき，

(1)　

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{OD}$の延長が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{AD}$の延長が辺$\mathrm{OB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とすれば，

• $\overrightarrow{\mathrm{OE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{FE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

である．

(3)　

${\displaystyle \frac{▵\mathrm{CEF}\text{の面積}}{\angle \mathrm{OAB}\text{の面積}}=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．

【５】　放物線$C:y=a{x}^2$（$a>0$）は直線$y=1$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標が点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さいものとする．

(1)　点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線の方程式は

$y=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}x-\boxed{\text{ウ}}$

である．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$における放物線$C$の二つの接線は点$\mathrm{R}(\boxed{\text{エオ}},\boxed{\text{カキ}})$で交わる．

(3)　放物線$C$と線分$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}}$である．

(4)　直線$y=1$に関して，放物線$C$と対称な曲線$C^{\prime }$の方程式は

$y=\boxed{\text{サシ}}{x}^2+\boxed{\text{ス}}$

である．また，曲線$C^{\prime }$と線分$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{RQ}$で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}\pi$である．

【６】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$チームで，次の(a)，(b)または(c)の組合せによりトーナメント戦を行う．

(a)	(b)	(c)

　ここで，$\mathrm{A}$が他の$3$チームに勝つ確率はいずれも${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}\mathrm{B}$が他の$3$チームに勝つ確率はいずれも${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}\mathrm{C}$が$\mathrm{D}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．なお，引き分けはないものとする．

(1)　$\mathrm{A}$が優勝する確率は，どの組合せでも${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$\mathrm{B}$が優勝する確率は，どの組合せでも${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　それぞれの組み合わせにおいて，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，

(a)では${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$，(b)では${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$，(c)では${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．したがって，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，（$\boxed{\text{セ}}$）の組み合わせの場合が最大である．

(3)　さらに，(a)，(b)または(c)のどの組み合わせにするかを，抽選によってきめるものとする．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{D}$が対戦する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}$である．