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1988-10001-0101
1988 北海道大学
文II,III系,理,水産,医,歯
易□ 並□ 難□
【1】 平面において,連立不等式 y≦ 3, y+x- 4≧0 , y+2⁢ x-8≦ 0 の表す領域を D とする.
(1) D を図示せよ.
(2) 点 (x, y) が D を動くとき, k=y+ x2- 4⁢x のとる値の最大値と最小値を求めよ.
1988-10001-0102
文II,III系,理II,III系,水産
理II,III系,水産は【4】
【2】 円 x2 +y2 =1 を行列 A= ( a-b b a) の表す 1 次変換でうつして得られる曲線を C とする.ただし, a ,b は a 2+b 2≠0 を満たす実数とする.
(1) C の方程式を求めよ.
(2) a ,b が a+ b=2 を満たして動くとき, C に囲まれる領域の面積 S の最小値を求めよ.
1988-10001-0103
文II,III系
理II,III系,水産【5】の類題
【3】 数列 {θ k} が cos⁡ θk= 1- 12⁢ k2 を満たすとき, ∑k= 1n ⁡tan2 ⁡ θ k2 を求めよ.
1988-10001-0104
【4】 f⁡(x )= ∫02 ⁡ | t2⁢ (t-x) |⁢ dt とする.
(1) x≧0 のとき, f⁡(x ) を求めよ.
(2) ∫ 03 ⁡f⁡( x)⁢d x を求めよ.
1988-10001-0105
理I系,医,歯
【2】 空間において,球面 S と平面 π をそれぞれ
{ S:x2 +y2 +z2 =4 π:3⁢ x+4⁢ y+5⁢ 2⁢z -15=0
によって定める.
(1) 点 P( 6,3, 6⁢2 ) から π へ下ろした垂線の足を H とする. PH の長さと点 H の座標を求めよ.
(2) S が π と交わってできる円を C とする.点 P と C 上の点の距離の最小値を求めよ.
1988-10001-0106
【3】 平面上の直線 y= 2⁢x を L とし,曲線 y= 1 2⁢ x3 を C とする. a1 ,a 2 ,⋯ ,a n, ⋯ を次のように順に定める.
(ⅰ) a1= 12 ,
(ⅱ) an が定まったとき,点 (an ,0) を通り y 軸に平行な直線と C との交点を Pn とし, Pn を通り x 軸に平行な直線と C との交点 Qn の x 座標を a n+1 とする.
(1) an+ 1 と an との間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) 数列 {an } の一般項を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ a 1⁢a 2⁢⋯ ⁢an 2n を求めよ.
1988-10001-0107
理II,III系・水産は【2】
【4】 曲線 y= (x2 +a⁢x -2⁢a -3)⁢ e2⁢ x を C とする.
次の(ⅰ)と(ⅱ)を満たす点 P がただ 1 つであるための a の条件を求めよ.
(ⅰ) P は C 上にある.
(ⅱ) P における C の接線は原点を通る.
1988-10001-0108
理II,III系,水産は【3】
【5】 曲線 y= a 2( exa +e -xa ) を C とし, C と y 軸との交点を P ,C と直線 x= a⁢b との交点を Q , 点 (a⁢ b,0) を R とする.ただし, a>0 , b>0 とする.
(1) 曲線 C の弧 PQ の長さと,線分 QR の長さの和 L を求めよ.
(2) a ,b が a⁢ b3= 1 を満たして動くとき, L の最小値を求めよ.
1988-10001-0109
理II,III系,水産
文系【3】の類題
【5】 数列 {θ n} が cos⁡ θn= 1- 12⁢ n2 を満たすとき, ∑n= 1∞ ⁡tan 2⁡ θn 2 を求めよ.