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1988 北海道大学

文II,III系,理,水産,医,歯

易□ 並□ 難□

【1】 平面において,連立不等式 y 3 y+x- 40 y+2 x-8 0 の表す領域を D とする.

(1)  D を図示せよ.

(2) 点 (x, y) D を動くとき, k=y+ x2- 4x のとる値の最大値と最小値を求めよ.

1988 北海道大学

文II,III系,理II,III系,水産

理II,III系,水産は【4】

易□ 並□ 難□

【2】 円 x2 +y2 =1 を行列 A= ( a-b b a) の表す 1 次変換でうつして得られる曲線を C とする.ただし, a b a 2+b 20 を満たす実数とする.

(1)  C の方程式を求めよ.

(2)  a b a+ b=2 を満たして動くとき, C に囲まれる領域の面積 S の最小値を求めよ.

1988 北海道大学

文II,III系

理II,III系,水産【5】の類題

易□ 並□ 難□

【3】 数列 {θ k} cos θk= 1- 12 k2 を満たすとき, k= 1n tan2 θ k2 を求めよ.

1988 北海道大学

文II,III系

易□ 並□ 難□

【4】  f(x )= 02 | t2 (t-x) | dt とする.

(1)  x0 のとき, f(x ) を求めよ.

(2)  03 f( x)d x を求めよ.

1988 北海道大学

理I系,医,歯

易□ 並□ 難□

【2】 空間において,球面 S と平面 π をそれぞれ

{ S:x2 +y2 +z2 =4 π:3 x+4 y+5 2z -15=0

によって定める.

(1) 点 P( 6,3, 62 ) から π へ下ろした垂線の足を H とする. PH の長さと点 H の座標を求めよ.

(2)  S π と交わってできる円を C とする.点 P C 上の点の距離の最小値を求めよ.

1988 北海道大学

理I系,医,歯

易□ 並□ 難□

【3】 平面上の直線 y= 2x L とし,曲線 y= 1 2 x3 C とする. a1 a 2 a n を次のように順に定める.

(ⅰ)  a1= 12

(ⅱ)  an が定まったとき,点 (an ,0) を通り y 軸に平行な直線と C との交点を Pn とし, Pn を通り x 軸に平行な直線と C との交点 Qn x 座標を a n+1 とする.

(1)  an+ 1 an との間に成り立つ関係式を求めよ.

(2) 数列 {an } の一般項を求めよ.

(3)  limn a 1a 2 an 2n を求めよ.

1988 北海道大学

理I系,医,歯

理II,III系・水産は【2】

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 y= (x2 +ax -2a -3) e2 x C とする.

 次の(ⅰ)と(ⅱ)を満たす点 P がただ 1 つであるための a の条件を求めよ.

(ⅰ)  P C 上にある.

(ⅱ)  P における C の接線は原点を通る.

1988 北海道大学

理I系,医,歯

理II,III系,水産は【3】

易□ 並□ 難□

【5】 曲線 y= a 2( exa +e -xa ) C とし, C y 軸との交点を P C と直線 x= ab との交点を Q (a b,0) R とする.ただし, a>0 b>0 とする.

(1) 曲線 C の弧 PQ の長さと,線分 QR の長さの和 L を求めよ.

(2)  a b a b3= 1 を満たして動くとき, L の最小値を求めよ.

1988 北海道大学

理II,III系,水産

文系【3】の類題

易□ 並□ 難□

【5】 数列 {θ n} cos θn= 1- 12 n2 を満たすとき, n= 1 tan 2 θn 2 を求めよ.

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