1988　東北大学MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\mathrm{G}$を三角形$\mathrm{ABC}$の重心，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\overrightarrow{g}$とおいて，${\mathrm{AG}}^2$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{g}$および内積を用いて表せ．

(2)　${\mathrm{OA}}^2+{\mathrm{OB}}^2+{\mathrm{OC}}^2={\mathrm{AG}}^2+{\mathrm{BG}}^2+{\mathrm{CG}}^2+{\mathrm{OG}}^2$を示せ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OF}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{\mathrm{OG}}$によって点$\mathrm{F}$を定めるとき，$\mathrm{F}$は直線$\mathrm{CE}$上にあることを示せ．

【２】　$3$次関数$f(x)$は$x=1$で極小値$0\text{，}x=-3$で極大値$32$をとる．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}(0,f(0))$における曲線$C\text{：}y=f(x)$の接線$l$がふたたび$C$と交わる点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，$\mathrm{P}$と$l$との距離の最大値を求めよ．

【３】(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換が，曲線$xy=1$上のすべての点を曲線$x^2-y^2=2$上の点にうつすとき，$A$はどのような行列か．行列$A$の各成分を$a$の式として表せ．

(2)　さらに，この$1$次変換の逆変換も，曲線$xy=1$上のすべての点を曲線$x^2-y^2=2$上の点にうつすとき，$A$を求めよ．

【４】　$1<a<b<a^2<100$を満たす整数$a\text{，}b$の組で${\log }_{a}b$が有理数となるものをすべて求めよ．

【１】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円がある．その周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$がこの順序にあり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=-\overrightarrow{\mathrm{OD}}$が成り立つ．線分$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とする．線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{DC}$の長さをそれぞれ$4\text{，}5$として，次の値を求めよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$

(2)　$\cos \theta$

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}$

【２】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を中心角$4\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$で切ったおうぎ形に，右の図のように内接する長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}=2x$として，$\mathrm{ABCD}$の面積$S_{\theta }(x)$を求めよ．

(2)　$S_{\theta }(x)$を最大にする$x$の値と，最大値$M(\theta )$を求めよ．

(3)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で変化するとき，関数$M(\theta )$のグラフをかけ．

【３】　関数$f(x)=\left|{\displaystyle \frac{2x^2+x-1}{x-1}}\right|$について，次の問に答えよ．

(1)　極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の漸近線を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$2n$までの整数から無作為に相異なる$3$つの数を取り出して，それらのうち最大の数と最小の数の差を$X$とする．

(1)　確率変数$X$の確率分布を求めよ．

(2)　$X$の値が$n$以下となる確率を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$は任意の自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{3}^{-k}{a}_{n-k}={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$

を満たしているとする．このとき，$m\geqq 3$に対して${\displaystyle \sum _{n=1}^m}n{a}_n$を求めよ．

【６】　半円$C\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}y\geqq 0$と$x$軸上に点$\mathrm{A}(a,0)$が与えられている．ただし$a>1$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろし，三角形$\mathrm{APQ}$の面積を$S_a(\mathrm{P})$で表す．

(1)　$C$上に$n+1$個の点${\mathrm{P}}_0(1,0)\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n(-1,0)$がこの順序に等間隔に並んでいるとき，極限値$M(a)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_a({\mathrm{P}}_k)$を求めよ．

(2)　$M(a)=S_a(\mathrm{P})$を満たす$C$上の点$\mathrm{P}$のうちで，その$x$座標が最大となるものを$(x_a,y_a)$とするとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }{y}_a$を求めよ．