1988　東京大学MathJax

【１】　直線$l$上に$10$メートル離れた$2$定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$l$に平行な直線$m$上を点$\mathrm{P}$が秒速$1$メートルで一定の向きに動いている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$間の距離と$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$間の距離の和は，ある時刻に測ったとき$15$メートル，その$5$秒後に測ったときも$15$メートルであった．$2$直線$l\text{，}m$のあいだの距離は何メートルか．

【２】　$xy$平面上の一次変換$f$が次の$3$条件をみたすとする．

(ⅰ)　点$(1,0)$は$f$により第$4$象限の内部にうつる．

(ⅱ)　点$(0,1)$は$f$により第$2$象限の内部にうつる．

(ⅲ)　点$(1,1)$は$f$により第$1$象限の内部にうつる．

　このとき$f$には逆変換が存在することを示せ．また，点$\mathrm{P}$の像$f(\mathrm{P})$が第$1$象限の内部にあれば，点$\mathrm{P}$も第$1$象限の内部にあることを示せ．

【３】　$xyz$空間において次の$6$個の不等式で表される立体の体積を求めよ．

$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0\text{，}$

$x+y+z\leqq 3\text{，}x+2z\leqq 4\text{，}y-z\leqq 1$

【４】　$f(x)=x^3-x^2$とする．曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{A}(1,0)$における接線がふたたびこの曲線と交わる点を$\mathrm{B}$とする．曲線$y=a{x}^2+bx+c$と曲線$y=f(x)$が点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を共有し，さらに$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のあいだにもうひとつの共有点をもつとき，この$2$曲線の囲む部分の面積を求めよ．また，その面積が最小となるように$a\text{，}b\text{，}c$を定めよ．

【２】　空間内に平面$\alpha$がある．一辺の長さが$1$の正四面体$V$の$\alpha$上への正射影の面積を$S$とし，$V$がいろいろと位置を変えるときの$S$の最大値と最小値を求めよ．

　ただし，空間の点$\mathrm{P}$を通って$\alpha$に垂直な直線が$\alpha$と交わる点を$\mathrm{P}$の$\alpha$上への正射影といい，空間図形$V$の各点の$\alpha$への正射影全体のくつる$\alpha$上の図形を$V$の$\alpha$への正射影という．

【３】　$C$を$y=x^3-x\text{，}-1\leqq x\leqq 1$で与えられる$xy$平面上の図形とする．次の条件をみたす$xy$平面上の点$\mathrm{P}$全体の集合を図示せよ．

「$C$を平行移動した図形で，点$\mathrm{P}$を通り，かつもとの図形$C$との共有点がただ$1$つであるようなものが，ちょうど$3$個存在する．」

【４】　$xy$平面上で原点から傾き$a\text{（}a>0\text{）}$で出発し折れ線状に動く点$\mathrm{P}$を考える．ただし，点$\mathrm{P}$の$y$座標はつねに増加し，その値が整数になるごとに動く方向の傾きが$s$倍（$s>0$）に変化するものとする．

　$\mathrm{P}$の描く折れ線が直線$x=b\text{(}b>0\text{)}$を横切るための$a\text{，}b\text{，}s$に関する条件を求めよ．

【５】　$xyz$空間において，$xz$平面上の$0\leqq z\leqq 2-x^2$で表される図形を$z$軸のまわりに回転して得られる不透明な立体を$V$とする．$V$の表面上$z$座標が$1$のところにひとつの点光源$\mathrm{P}$がある．

　$xy$平面上の原点を中心とする円$C$の，$\mathrm{P}$からの光が当たっている部分の長さが$2\pi$であるとき，$C$のかげの部分の長さを求めよ．

【６】　空間内の点$\mathrm{O}$に対して，$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を

$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=4$

をみたすようにとるとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積の最大値を求めよ．