1989 共通一次試験 本試験

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1989 共通一次試験 本試験

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  α β は方程式 x 25 x+5 =0 の二つの解(根)であるとし,整式 f ( x) は次の条件(A),(B)を満たしているとする.

 この整式 f (x) ( x2 5x+ 5) ( x2) で割ったときの余り a x2+ bx+ c を,次のようにして求めよう.

α+β = α2 +β2 = イウ αβ 0

であるから,条件(A)より

となる.また,条件(B)より

a+ b +c= セソ

となる.したがって,求める余りの係数は

a= b = チツ c= テト

である.

1989 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 三角形 ABC において AB =4 AC =2 BC =a とする.このとき,

(1)  a の値の範囲は <a < である.

(2)  B a = のときに最も大きくなり,そのときの B の大きさは オカ ° である.

(3)(ⅰ)  A の大きさを A として,

x=cos A y= a2 4+ 4sin 2A

とおくと

y= キク x2 x +

である.

(ⅱ)  4a < のとき, y の値の範囲は

サシ y セソ

である.

1989 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上の 2 A (2 ,1) B (9, 8) を通る円 C が, x 軸と 2 P Q で交わるとする.このとき,

(1) 円 C の中心は直線 y= x + イウ 上にある.

(2) 中心が x 軸上にあるならば,円 C の方程式は

x2+ y2 エオ x + カキ =0

である.

(3)  APB=90 ° ならば,円 C の方程式は

x2+ y2 クケ x y + サシ =0

である.

(4) 線分 PQ x >0 の範囲にあって,その長さが 4 5 ならば,円 C の方程式は

x2+ y2 スセ x y + タチ =0

である.

1989 共通一次試験 本試

数学II

配点40点

【4】〜【6】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  3 BC CA AB の長さがそれぞれ 7 5 3 の三角形 ABC がある.

(1)  BAC の二等分線と辺 BC との交点を L とするとき, BL:LC = : であるから,

AL = AB + AC

である.さらに, ABC の二等分線と線分 AL との交点を I とすれば,

AI = AB + AC

である.

(2)  cosBAC = コサ であるから, BAC= スセソ ° である.したがって,点 B から直線 AC に下ろした垂線と直線 AC との交点を R とすれば,

BR = AB チツ AC

である.さらに,点 C から直線 AB に下ろした垂線と直線 BR との交点を H とすれば,

AH = テト AB ニヌ ネノ AC

である.

1989 共通一次試験 本試

数学II

配点40点

【4】〜【6】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】  a を定数として

f(x )=2 x3 (3a +6) x2+ 12a x

とおき, xy 平面上の曲線 f (x) C とする.

(1)  a がどんな値であっても,曲線 C 2 定点

O(0 ,0) P ( , イウ )

を通る.

(2)  f(x ) の導関数は f (x )= (x ) (x ) であるから, ならば f (x) の極値は

キク a a + a

となる.したがって, イウ f (x) の極値となるのは, a スセ または チツ のときである.

(3)  2 O P を通る直線と曲線 C によって囲まれた図形の面積は, a= ならば テトナ である.

1989 共通一次試験 本試

数学II

配点40点

【4】〜【6】から2題選択

正解と配点

易□ 並□ 難□

【6】  4 組の夫婦,合計 8 名の男女がいる.

(1)(ⅰ) この 8 名を, 4 名ずつの二つのグループに分ける分け方は アイ 通りある.このとき,どの夫婦も別のグループに分かれる分け方は 通りある.

(ⅱ) この 8 名を,それぞれ 2 名以上の二つのグループに分ける分け方は全部で エオカ 通りある.またこのとき,男性だけのグループができるような分け方は キク 通りあり,男性だけのグループも女性だけのグループもできないような分け方は ケコ 通りある.

(2) 一つの円卓で会食するために,この 8 名の座席を抽選によってきめたい.このとき,

(ⅰ) 男女が交互に座る確率は シス である.

(ⅱ) 男女が交互に座るとは限らないとして,どの夫婦も隣り合った席に座る確率は ソタチ である.