1989　共通一次試験　本試験MathJax

【１】　$\alpha \text{，}$$\beta$は方程式$x^2-5x+5=0$の二つの解（根）であるとし，整式$f(x)$は次の条件(A)，(B)を満たしているとする．

• (A)　$f(x)$を$x-\alpha$で割ったときの余りは$\beta \text{，}$$x-\beta$で割ったときの余りは$\alpha$である．
• (B)　$f(x)$を$x-2$で割ったときの余りは$\mathrm{-3}$である．

　この整式$f(x)$を$(x^2-5x+5)(x-2)$で割ったときの余り$a{x}^2+bx+c$を，次のようにして求めよう．

$\alpha +\beta =\boxed{\text{ア}}\text{，}$${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{イウ}}\text{，}$$\alpha -\beta \ne 0$

であるから，条件(A)より

• $\boxed{\text{エオ}}a+\boxed{\text{カ}}b+\boxed{\text{キ}}c=\boxed{\text{ク}}$
• $\boxed{\text{ケ}}a+b=\boxed{\text{コサ}}$

となる．また，条件(B)より

$\boxed{\text{シ}}a+\boxed{\text{ス}}b+c=\boxed{\text{セソ}}$

となる．したがって，求める余りの係数は

$a=\boxed{\text{タ}}\text{，}$$b=-\boxed{\text{チツ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{テト}}$

である．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=a$とする．このとき，

(1)　$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$\angle \mathrm{B}$は$a=\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$のときに最も大きくなり，そのときの$\angle \mathrm{B}$の大きさは$\boxed{\text{オカ}}°$である．

(3)(ⅰ)　$\angle \mathrm{A}$の大きさを$A$として，

$x=\cos A\text{，}$$y={\displaystyle \frac{a^2}{4}}+4{\sin }^{2}A$

とおくと

$y=\boxed{\text{キク}}{x}^2-\boxed{\text{ケ}}x+\boxed{\text{コ}}$

である．

(ⅱ)　$4\leqq a<\boxed{\text{イ}}$のとき，$y$の値の範囲は

である．

【３】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,1)\text{，}$$\mathrm{B}(9,8)$を通る円$C$が，$x$軸と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとする．このとき，

(1)　円$C$の中心は直線$y=\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イウ}}$上にある．

(2)　中心が$x$軸上にあるならば，円$C$の方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{エオ}}x+\boxed{\text{カキ}}=0$

である．

(3)　$\angle \mathrm{APB}=90°$ならば，円$C$の方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{クケ}}x-\boxed{\text{コ}}y+\boxed{\text{サシ}}=0$

である．

(4)　線分$\mathrm{PQ}$が$x>0$の範囲にあって，その長さが$4\sqrt{5}$ならば，円$C$の方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{スセ}}x-\boxed{\text{ソ}}y+\boxed{\text{タチ}}=0$

である．

【４】　$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さがそれぞれ$7\text{，}$$5\text{，}$$3$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{L}$とするとき，$\mathrm{BL}:\mathrm{LC}=\boxed{\text{ア}}:\boxed{\text{イ}}$であるから，

$\overrightarrow{\mathrm{AL}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{エ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．さらに，$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と線分$\mathrm{AL}$との交点を$\mathrm{I}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．

(2)　$\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$であるから，$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{スセソ}}°$である．したがって，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

である．さらに，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BR}$との交点を$\mathrm{H}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle -\frac{\boxed{\text{テト}}}{\boxed{\text{ナ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．

【５】　$a$を定数として

$f(x)=2x^3-(3a+6)x^2+12ax$

とおき，$xy$平面上の曲線$f\left(x\right)$を$C$とする．

(1)　$a$がどんな値であっても，曲線$C$は$2$定点

$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イウ}})$

を通る．

(2)　$f(x)$の導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{エ}}(x-\boxed{\text{オ}})(x-\boxed{\text{カ}})$であるから，$\boxed{\text{オ}}\ne \boxed{\text{カ}}$ならば$f(x)$の極値は

$\boxed{\text{キク}}a-\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$-a^{\boxed{\text{コ}}}+\boxed{\text{サ}}{a}^{\boxed{\text{シ}}}$

となる．したがって，$\boxed{\text{イウ}}$が$f(x)$の極値となるのは，$a$が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{タ}}$または$\boxed{\text{チツ}}$のときである．

(3)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と曲線$C$によって囲まれた図形の面積は，$a=\boxed{\text{タ}}$ならば${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テトナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【６】　$4$組の夫婦，合計$8$名の男女がいる．

(1)(ⅰ)　この$8$名を，$4$名ずつの二つのグループに分ける分け方は$\boxed{\text{アイ}}$通りある．このとき，どの夫婦も別のグループに分かれる分け方は$\boxed{\text{ウ}}$通りある．

(ⅱ)　この$8$名を，それぞれ$2$名以上の二つのグループに分ける分け方は全部で$\boxed{\text{エオカ}}$通りある．またこのとき，男性だけのグループができるような分け方は$\boxed{\text{キク}}$通りあり，男性だけのグループも女性だけのグループもできないような分け方は$\boxed{\text{ケコ}}$通りある．

(2)　一つの円卓で会食するために，この$8$名の座席を抽選によってきめたい．このとき，

(ⅰ)　男女が交互に座る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

(ⅱ)　男女が交互に座るとは限らないとして，どの夫婦も隣り合った席に座る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタチ}}}}$である．