1989　大学入試センター試験　試行試験MathJax

【１】

〔１〕　$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解（根）を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．このとき，${\alpha }^2\text{，}$${\beta }^2$を解とする$2$次方程式は

$x^2+(\boxed{\text{ア}}b-a^{\boxed{\text{イ}}})x+b^{\boxed{\text{ウ}}}=0\cdots \text{①}$

である．また，${\alpha }^3\text{，}$${\beta }^3$を解とする$2$次方程式は

$x^2+(a^{\boxed{\text{エ}}}-\boxed{\text{オ}}ab)x+b^{\boxed{\text{カ}}}=0\cdots \text{②}$

である．

　$b\ne 0$の場合に，$\text{①}$と$\text{②}$が同じ方程式となるのは$b=\boxed{\text{キ}}$で，

$a=\boxed{\text{クケ}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$

のときである．

【１】

〔２〕　次の文中の$\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\boxed{\text{セ}}$のそれぞれに入れるのに適当な語句を，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．

(1)　$a\text{，}$$b$を$0$でない実数とする．このとき，$a\text{，}$$b$が同符号であることは

${\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}}\geqq 2$

が成り立つための$\boxed{\text{ス}}$．

(2)　$p\text{，}$$q$を実数とする．$2p^2\geqq q$であることは，$x$の$2$次方程式

$x^2+2px+q=0$

の実数解（実根）をもつための$\boxed{\text{セ}}$．

• $\overline{)\text{1}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$　十分条件であるが，必要条件ではない
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】　放物線$y=x^2$を$C$とし，円$x^2+x^2-8y+15=0$を$O$とする．このとき，

(1)　放物線$C$を放物線$y=x^2-4x+1$に移す平行移動によって，円$O$は円$O^{\prime }$に移った．このとき，$O^{\prime }$の方程式は

$x^2+y^2-\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y+\boxed{\text{ウ}}=0$

である．また，円$O$と円$O^{\prime }$は直線$\boxed{\text{エ}}x-\boxed{\text{オ}}y+\boxed{\text{カキ}}=0$に関して対称である．

(2)　放物線$C$上に動点$\mathrm{P}$があり，円$O$上に動点$\mathrm{Q}$がある．線分$\mathrm{PQ}$の長さを最小にする$\mathrm{P}$の座標は

${\displaystyle (\pm \frac{\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}},\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}})}$

で，そのときの$\mathrm{PQ}$の長さは

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{スセ}}}-\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上に，$\mathrm{AD}=1$であるような点$\mathrm{D}$をとる．さらに，点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$をそれぞれ辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$上にとり，

$\angle \mathrm{BED}=\angle \mathrm{CEF}\text{，}$$\angle \mathrm{CFE}=\angle \mathrm{AFG}$

となるようにする．このとき，

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BD}}}=t$とおけば，

$\mathrm{CF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{t}}-\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\mathrm{AG}=\boxed{\text{ウ}}t-\boxed{\text{エ}}$

である．

(2)　特に，$\mathrm{G}$が$\mathrm{D}$に一致するときは，

${\displaystyle t=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}$$\mathrm{DE}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{クケ}}}}{\boxed{\text{コ}}}}$

であり，$▵\mathrm{DEF}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セソ}}}}$

である．