1989　北海道大学MathJax

【１】　関数$f(x)=3x^2-2(a+1)x+a^2$について，次の問に答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　放物線$y=f(x)$と$x$軸が$2$点で交わるとき$2$交点の間の距離が最大となるような$a$の値と，そのときの距離を求めよ．

(2)　$x$についての$2$次方程式$f(x)=0$が，ともに$0$より大きく$1$より小さい相異なる実数解をもつための$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　正方形$\mathrm{EFGH}$を底面とする直方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．座標空間において，頂点$\mathrm{G}$を原点に，頂点$\mathrm{A}$を$z$軸上におくとする．このとき，各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通り，$xy$平面に垂直な直線が，$xy$平面と交わる点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }$とする．このとき，次の(1)，(2)を証明せよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GA}}$は垂直である．

(2)　四辺形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$はひし形である．

【３】　$x$に関する$2$つの不等式

$1+{\displaystyle \frac{1}{{\log }_{3}x}}-{\displaystyle \frac{2}{{\log }_{5}x}}<0\cdots \text{①}$

${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{a{\log }_{3}2}<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x(x-a+1)}\cdots \text{②}$

について，次の問に答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$\text{①}$を解け．

(2)　$\text{①}$の解がすべて$\text{②}$を満たすような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)=a{x}^4+a^{2}x$について，次の問に答えよ．ただし，$a$は実数で$a\ne 0$とする．

(1)　曲線$y=f(x)$上の原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}$における接線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線が，直線$y=a^{2}x$と交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{OQ}$と$\mathrm{PR}$の比を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の$y$座標が関数$f(x)$の最大値であるとき，$a$を求めよ．

【１】　原点$\mathrm{O}$を通る直線が球面

$S:{(x-2)}^2+y^2+{(z-1)}^2=4$

と接する点の軌跡を$A$とする．$A$の$xy$平面への正射影$A^{\prime }\text{，}$および$xz$平面への正射影$A^{″}$を求め，それらを図示せよ．ただし，空間内の平面$\pi$に対して，$A$の各点を通り$\pi$に垂直な直線が$\pi$と交わる点の集合を$A$の$\pi$への正射影という．

【２】　次の関数$f(\theta )$について，以下の問に答えよ．

$f(\theta )=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{5}{2}}\theta }{2\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}}}\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$

(1)　$f(\theta )$を$\cos \theta$の多項式で表せ．

(2)　曲線$y=a\cos \theta +a$が曲線$y=f(\theta )$と少なくとも$1$点で交わるような実数$a$の範囲を求めよ．

【３】　関数

$f(x)={(\log x-1)}^2+2x(\log x-1)-x\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とする．

(1)　曲線$y=f(x)$の接線で傾き$1$のものは，ただ$1$つ存在することを示し，その方程式$y=g(x)$を求めよ．

(2)　すべての$x>0$に対して，$f(x)\geqq g(x)$が成り立つことを証明せよ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$接線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$f(x)$は$x\geqq a$で定義された連続な増加関数で，$x>a$のとき$f(x)>0$とする．この$f(x)$に対して，

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{x-a}}{\displaystyle {\int }_a^x}f(t)dt\text{（}x>a\text{）}$

とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　すべての$x\text{（}x>a\text{）}$に対して，

$(x-a)g^{\prime }(x)=f(x)-g(x)$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$g(x)$は$x>a$で増加関数であることを証明せよ．

(3)　すべての$x\text{（}x>a\text{）}$に対して，$2f(x)=3g(x)$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【５】　点$\mathrm{A}$は数直線上を次の規則にしたがって移動する．硬貨を投げ，表が出たら正の方向に$a$だけ進み，裏が出たら負の方向に$b$だけ進む（$a>0\text{，}b>0$）．ただし，この硬貨を投げたとき，表の出る確率を$p\text{（}0<p<1\text{）}$とする．いま，点$\mathrm{A}$は原点から出発し，$n$回硬貨を投げたときの点$\mathrm{A}$の座標を$X_n$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$X_n$の確率分布を求めよ．

(2)　$a=2\text{，}b=1$のとき，$X_3$が区間$-4\leqq x\leqq 0$に存在する確率が区間$1\leqq x\leqq 5$に存在する確率より大きくなる$p$の範囲を求めよ．

【１】　$n$を正の整数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2anx+bn=0$が相異なる実数解をもち，それらが，ともに$-2$より大きく$2$より小さくなるような点$(a,b)$の集合を図示せよ．また，点$(0,-3)$がこの集合に属するとき，$n$の値を求めよ．

【２】　平面上の点$\mathrm{P}(1,1)$と点$\mathrm{Q}(-1,0)$が行列$\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ -1& a\end{array}\right)$で表される$1$次変換によってそれぞれ点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}$点${\mathrm{Q}}^{\prime }$にうつされるとする．線分$\mathrm{PQ}$と線分${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$が交わるための実数$a$の条件を求めよ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^n+a^{2}x$が次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすような正の整数$n$と実数$a\text{（}a\ne 0\text{）}$を求めよ．

(ⅰ)　曲線$y=f(x)$上の原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}$における接線が$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が直線$y=a^{2}x$と交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，つねに$\mathrm{OQ}:\mathrm{RP}=3:1$である．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の$y$座標が関数$f(x)$の最大値である．

【４】(1)　すべての実数$x$に対して，$1-x\leqq e^{-x}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たしているとする：

(ⅰ)　$0<a_n<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(ⅱ)　$b_1=1-a_1\text{，}{b}_n=(1-a_n)b_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$からつくられる数列$\{S_n\}$が正の無限大に発散するとき，数列$\{b_n\}$の極限値を求めよ．