1989　室蘭工業大学MathJax

【１】　$P=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$とする．ただし，$a\text{，}b$は実数である．

(1)　行列$P$による$1$次変換で，$xy$平面上の曲線$xy=1$はどんな曲線にうつされるか．その曲線の方程式を求め，そのグラフをかけ．

(2)　行列$B$を$B=P^{-1}AP$（$P^{-1}$は$P$の逆行列）とおく．$B$による$1$次変換を$f$とし，$n$個のベクトル$\overrightarrow{u_k}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を

$\overrightarrow{u_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{u_k}=f(\overrightarrow{u_{k-1}})\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

と定める．このとき，$\overrightarrow{u_n}$の成分を求めよ．

(3)　${(a-1)}^2\ne b^2$とするとき，ベクトルの和$\overrightarrow{u_1}+\overrightarrow{u_2}+\cdots +\overrightarrow{u_n}$の成分を求めよ．

【２】　空間に点$\mathrm{P}(2,1,0)$と平面$\alpha :x+y-z=0$がある．

(1)　平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$から$xy$平面に引いた垂線を$\mathrm{QR}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を含む平面の方程式を求めよ．

(3)　平面$x-y=0$上の任意の点を$\mathrm{S}$とする．このとき，四面体$\mathrm{PQRS}$の体積を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2(x+1)$とする．$2$次関数$g(x)$は，

$g(-1)=f(-1)\text{，}g(1)=f(1)\text{，}g(a)=f(a)$

を満たす．ただし，$a$は実数で，$|a|<1$である．

(1)　$S(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)-g(x)|dx$を求めよ．

(2)　$S(a)$の最小値を求めよ．

【４】　曲線$y=\cos \pi x$上に定点$\mathrm{A}(0,1)$と動点$\mathrm{P}(x,y)$（ただし，$0<|x|<1$）をとる．この$2$点を通り$y$軸上に中心をもつ円を$C$とする．点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$に限りなく近づけると，円$C$の半径はどんな値に近づくか．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-x+1}}$とする．

(1)　関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

(2)　$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$とおく．$0<x<1$を満たすすべての$x$について${\displaystyle \frac{F(x)}{x}}<F(1)$が成り立つことを証明せよ．