1989　東北大学MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とし，放物線$C\text{：}{y}^2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$上に$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるようにとる．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{R}$はどのような直線上を動くか．

(2)　直角三角形$\mathrm{OPQ}$の面積がとり得る範囲を求めよ．

【２】(1)　球$x^2+y^2+z^2+2x-4y+4z=16$の平面$6x-2y+3z=5$による切り口である円$C$の中心と半径を求めよ．

(2)　円$C$上のすべての点からの距離が$\sqrt{32}$である点を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$が$a_1=2\text{，}{a}_2=0\text{，}{a}_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2n-8\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義されているとする．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n$が最小となる$n\text{，}$および，その最小値$a_n$を求めよ．

【４】(1)　不等式$x+2\geqq y\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x+1$で定められた図形$A$を考える．直線$y=ax+1\text{（}a<0\text{）}$が$A$の面積を$1$対$2$に分けるものとする．$a$の値を求めよ．

(2)　直線$y=ax+1$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x+1$で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積を$V$とする．${\displaystyle \frac{V}{\pi }}$に一番近い整数を求めよ（$\pi$は円周率）．

【１】　$xyz$空間において，点$(0,0,5)$を$\mathrm{P}\text{，}$平面$x+2y+2z=0$を$\alpha$とし，$xy$平面上の円$x^2+y^2=4$を$C$とする．

(1)　平面$\alpha$と$xy$平面との交線の方向ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,a_2,a_3)$と，$\overrightarrow{a}$に垂直で平面$\alpha$に平行なベクトル$\overrightarrow{b}=(2,b_2,b_3)$を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$と$\alpha$上の点$\mathrm{Q}$に対し$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$とおく．直線$\mathrm{PQ}$が円$C$と交わるための$s\text{，}t$の満すべき条件を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta & -\sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta \end{array}\right)(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の表す$1$次変換を$f$とする．円$C\text{：}{(x-2)}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$の$f$による像を$C_1$とする．

(1)　曲線$C_1$は円であることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．

(2)　$2$円$C$と$C_1$が外接するように$\theta$を定めよ．

【３】　曲線$x=f(x)\text{，}0\leqq y\leqq 30$を$y$軸のまわりに回転してできる底の平らな空の容器がある．以下，長さの単位を$1\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$a{\mathrm{cm}}^3$の割合で水を入れるとき，あふれ出すまでは$t$秒後の水面の上昇速度が${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t}}}\mathrm{cm}/\text{秒}$であるとする．

(1)　何秒後に水面の高さが$18\mathrm{cm}$になるか．

(2)　関数$f(y)$を求めよ．ただし，$f(y)$は正の値をとるものとする．

【４】　$\mathrm{A}$の箱には黒球が$8$個と白球が$2$個，$\mathrm{B}$の箱には黒球が$4$個と白球が$6$個，$\mathrm{C}$の箱には黒球が$3$個と白球が$7$個入っているが，外見から箱は区別できない．

　いま$1$つの箱を指定し，「この箱は$\mathrm{A}$である」という仮説$H$をたてる．この箱から$3$個の球を同時に取り出して，その中に$2$個以上黒球が含まれていれば仮説$H$を採択し，そうでなければ，$H$を棄却する検定法を考える．

(1)　仮説$\mathrm{H}$が正しいとき，誤って棄却してしまう確率を求めよ．

(2)　仮説$H$が正しくないとき，誤って採択してしまう確率を求めよ．

【５】　$a\text{，}b$を$a\geqq 1\text{，}a\ne 2\text{，}b>0$なる定数とし，$x$の関数$f(x)=2e^{2x}-a{e}^x+bx$を考える．

(1)　$f(x)$が単調増加となるとき，$a\text{，}b$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　$y=f(x)\text{，}y=bx\text{，}x=0$により囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(3)　(1)の条件のもとで$a$を動かすとき，$S$の最大値$M$を$b$の関数として表せ．

【６】　数列$\{x_n\}$が$x_1=19\text{，}{x}_{n+1}={\displaystyle \frac{5x_n+8}{x_n+3}}\text{（}n=\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定義されている．

(1)　$y_n={\displaystyle \frac{x_n+a}{x_n+b}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が等比数列となるような定数$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$を求めよ．

(2)　一般項$x_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．