1989　筑波大学MathJax

【１】　右のように$n^2$個の数が正方形に並べられている．$a_{ij}$は上から$i$番目，左から$j$番目にある数とする．任意の$i$について数列$a_{i1}\text{，}{a}_{i2}\text{，}\cdots \text{，}{a}_{in}$は等差数列で，同じく任意の$j$について数列$a_{1j}\text{，}{a}_{2j}\text{，}\cdots \text{，}{a}_{nj}$も等差数列とする．さらに，$a_{13}=0\text{，}{a}_{22}=0\text{，}{a}_{31}=2\text{，}{a}_{32}=2$とする．

(1)　$a_{41}$を求めよ．

(2)　数列$a_{i1}\text{，}{a}_{i2}\text{，}\cdots \text{，}{a}_{in}$の公差$d_i$を求めよ．

(3)　$S_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$を求めよ．

【２】　空間に点$\mathrm{A}(0,0,3)$と球面$S\text{：}{(x-1)}^2+y^2+{(z-1)}^2=1$が与えられている．$xy‐$平面上の点$\mathrm{P}(u,v,0)$と点$\mathrm{A}$を結ぶ直線が球面$S$と共有点をもつための$u\text{，}v$に関する条件を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$の長さを$1\text{，}\angle C=\theta \text{，}\angle B=3\theta$とする．

(1)　$\theta$の取り得る範囲を求めよ．

(2)　$2$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さを$\theta$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の周の長さ$l$の取り得る値の範囲を求めよ．

【４】　$f(x)$を$0\leqq x<1$で定義された単調に増加する微分可能な関数で$f(0)=0$とする．任意の$a\text{（}0<a<1\text{）}$について曲線$y=f(x)$の$0\leqq x\leqq a$における弧の長さは$\log \left({\displaystyle \frac{1+a}{1-a}}\right)-a$で与えられている．関数$f(x)$を求めよ．

【５】　袋$\mathrm{A}$に赤玉が$1$個，白玉が$1$個，袋$\mathrm{B}$にも赤玉が$1$個，白玉が$1$個入っている．袋$\mathrm{A}$から無作為に$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に移し，続いて袋$\mathrm{B}$から無作為に$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に移す．この一連の操作を$1$回の試行と呼ぶ．袋$\mathrm{A}$の中が赤玉$2$個，または白玉$2$個の状態になるか，あるいは試行の回数が$N$に達したとき，試行を止めることとする．ただし，$N$は$2$以上の自然数とする．

(1)　試行がちょうど$k$回で終わる確率$P_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N\text{）}$を求めよ．

(2)　試行がちょうど$k$回で終わるときの得点を$a^k$として，得点の期待値（平均）$E_N$を求めよ．ただし，$a$は与えられた実数とする．

(3)　$\left|a\right|\leqq 1$のとき$\underset{N\to \infty }{\lim }{E}_N$を求めよ．

【６】(1)　関数$f(x)=(x+2)e^{-x}$の導関数$f^{\prime }(x)$は，$x>0$において単調に増加することを示せ．

(2)　$0<a<b$のとき

$-(a+1)e^{-a}<{\displaystyle \frac{(b+2)e^{-b}-(a+2)e^{-a}}{b-a}}<-(b+1)e^{-b}$

であることを示せ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【１】，【３】，【４】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林類　【１】，【２】，【４】から２題選択

第三学群

　社会工学類　【１】〜【３】必須，【４】，【６】から選択？　詳細不明

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須