1989　埼玉大学　教育学部MathJax

【１】(1)　常用対数表の数値を用いないで${\log }_{3}2<{\displaystyle \frac{2}{3}}$を証明せよ．

(2)　$x$が正の整数を動くとき，次の関数$f(x)$の値が最小となる$x$を求めよ．

$f(x)=5{({\log }_{3}x)}^2-12({\log }_{3}x)+1$

【２】　$2$つの行列$A\text{，}B$が次のように与えられている（ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする）．このとき，下の問いに答えよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& c\end{array}\right)$

(1)　等式$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$が成り立つとき，$a\text{，}b\text{，}c$の間に成り立つ関係を求めよ．

(2)　(1)が成り立つとき，$B$によって定まる$1$次変換が，直線$x-2y=3$を直線$x-3y=-15$に移すという．$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【３】　右図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{e}\text{，}$ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{d}$とおく．また，線分$\mathrm{DF}$上に一点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{DF}\perp \mathrm{AP}$となるようにとる．さらに，線分$\mathrm{AP}$の延長が平面$\mathrm{CDHG}$と交わる点を$\mathrm{R}$とする．

このとき，

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{e}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{e}\text{，}\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{R}$は面$\mathrm{CDHG}$上のどのような位置にあるかを述べよ．

(4)　直線$\mathrm{AP}$が平面$\mathrm{CDHG}$の法線ベクトルとなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

【４】　$2$つの二次曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3ax+b$

$C_2\text{：}y=-x^2+ax+3b$

は$x=1$のとき共通の接線$l$をもつ．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値および共通の接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を$A$とし，曲線$C_2\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を$B$とするとき，$A\text{，}B$の面積の比を求めよ．