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1989 千葉大学

代数・幾何,基礎解析

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの平面 π1 ax +y-z =1 π 2x -2y +z=2 がある.

(1)  π1 π 2 のなす角を θ とするとき, cosθ = 23 となる正数 a の値を求めよ.

(2) (1)の a の値に対して, 2 つの平面 π1 π 2 の交線 l の方程式を求めよ.

(3)  l と原点を通る平面 π の方程式を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析

【5】の類題

易□ 並□ 難□

【2】(1) 関数 y =|x -1| +1 のグラフを 1 次変換 ( 1- 11 1 ) でうつすとどのような図形になるか,これを図示せよ.

(2) 関数 y =|x -1| +1 | y-1 |=- (x+ 1) にうつし,点 ( 0,2 ) を点 ( -2,0 ) にうつす 1 次変換を表す行列 A を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上に 2 A ( 2,0) B ( -2, 0) と領域 D ={( x,y) |x 2+y 21 } が与えられている.

(1) 領域 D 内を通って, A から B に到る経路の最短距離 l を求めよ.(ただし,証明は省いてもよい)

(2) (1)で求めた最短距離を与える経路の表す曲線と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに回転するとき,その回転体の体積 V を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析,確率・統計

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x )=3 x4 +4 (3- a) x3+ 12( 1-a) x2 a 0 について f (x ) が極小となる x の値とそのときの極小値を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析

【2】の類題

易□ 並□ 難□

【5】(1) 関数 y =|x -1| +1 のグラフを 1 次変換 ( 1- 11 1 ) でうつすとどのような図形になるか,これを図示せよ.

(2) 関数 y =|x -1| +1 | y-1 |=- (x+ 1) にうつし,点 ( 0,2 ) を点 ( -2,0 ) にうつす 1 次変換を表す行列 A を求めよ.

(3) 平面上の図形を平行移動し,さらにそれを 1 次変換によってうつす変換 g がある.この変換 g によって折れ線 y =|x -1| +1 が折れ線 y =2 |x | にうつり,点 ( 1,-1 ) が点 ( 0,-4 ) にうつる.この g を, ( x y )=B ( x y) +( a b ) とかくとき,行列 B とベクトル ( a b ) を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

易□ 並□ 難□

【6】  M 君がサイコロ投げのゲームをする. M 君は毎回 100 円のゲーム代を支払って, 1 つのサイコロを 1 回投げる.出た目の数が x のとき, M 君は ( mx+ n) 円を受けとる.ここで m n は正の整数とする. 1 回のサイコロ投げのゲームで,ゲーム代を差し引いた後に M 君が受け取る金額の期待値を A 円とする.

(1)  A m n を用いて表せ.

(2)  A=0 をみたす m n の値の組は何個あるか.

(3)  A=0 のとき,ゲーム代を差し引いた後に M 君が受けとる金額の分散の最小値 V 0 を求めよ.

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代数・幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

易□ 並□ 難□

1989年千葉大【7】の図

【7】 平面上に O を中心とする半径 a の円をかいて,直径 AB 上に点 H をとる.点 H を通り AB に垂直な弦を QR とし,さらに,図のように平面に垂直な PH を高さとする二等辺三角形 PQR をつくる.いま,条件 PH+ HO =a を保ちながら点 H A から B まで動かす.このとき,三角形 PQR が動いてできる立体の体積 V を求めよ.



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代数・幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

易□ 並□ 難□

【8】 平面上に,中心(対角線の交点)を共有する n 個の合同な正方形を,重ならないようにかく.平面がこの n 個の正方形によって分割される部分の総数を f (n ) とする.このとき f (1 )=2 f (2) =10 をみたす.

(1)  f( n+1) -f( n)= 8n が成り立つことを示せ.

(2)  f( n) を求めよ.

(3)  n= 1 1 f( n) < 34 を示せ.

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代数・幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

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1989年千葉大【9】の図

【9】 斜面(平面) α と水平面 β π6 の傾きで交わっているとする. α β の交線 l 上の点 O を中心とする α 上の半径 1 の円周 C l との交点を図のように A B とする.いま, K 君は時刻 t =0 に点 A を出発して,円周 C 上を反時計まわりに頂点 S まで行くとき,円周 C 上の各点 P での K 君の歩く速さ v は, P において円周 C にひいた接線と水平面 β とがなす角 θ によって v = π( 1+sin θ) 2 で与えられている.ただし,接線が平面 β に平行なとき, θ=0 とする. AOP= φ (0 φ< π2 ) とするとき,

(1)  dφd t= v であることを示せ.

(2)  sinθ φ の関数で表せ.

(3)  φ と時刻 t のみたす微分方程式を求めよ.

(4)  K 君が点 S に到達する時刻 T を求めよ.



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代数・幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

易□ 並□ 難□

【10】 任意の自然数 n に対して Pn= (3 n)! (2 n) !n とおく.

(1)  limn Pnn を求めよ.

(2)  limn ( n +2n ) Pn を求めよ.

志望別問題選択一覧

代数幾何,基礎解析

 文学部 行動科学科,教育学部 小学校教員養成課程,中学理科,中学技術・職業,中学家庭,法経学部,園芸学部 園芸経済学科【1】【2】【3】【4】

代数幾何,基礎解析,確率・統計

 理学部 生物学科 看護学部,工学部Aコース・Bコース 建築学科,建築工学科,園芸学部 生物生産学科,緑地・環境学科 【3】【4】【5】【6】

代数幾何,基礎解析,微分・積分,確率・統計

 理学部 物理学科,化学科,地学科 医学部,薬学部,工学部Aコース(建築,建築工除く) 工学部Bコース 機械工学科,機械工学科第二,電気工学科,工業化学科,合成化学科 【5】【6】【7】【8】【9】

 教育学部・中学教員養成課程 数学科専攻,理学部 数学科 【5】【6】【7】【8】【9】【10】

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