1989　東京医科歯科大学MathJax

1989-10262-0101

1989　東京医科歯科大学

易□　並□　難□

【１】　 $x y z$ 空間に点 $A (- \frac{1}{3}, - \frac{14}{3}, - \frac{2}{3})$ と球面 $S_{0} ： x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ とがある．また，曲面 $y^{2} = x$ が $x y$ 平面と交わってできる曲線を $C$ とする．

(1)　点 $P$ が球面 $S_{0}$ 上を動くとき，線分 $AP$ を $4 : 3$ に外分する点 $Q$ のつくる曲面 $S$ の方程式を求めよ．

(2)　点 $R$ が曲線 $C$ 上を動き，点 $T$ が(1)の曲面 $S$ 上を動くとき，線分 $RT$ の長さの最小値を求めよ．

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【２】(1)　 $f (x) = x ， h (x) = x^{2} \sin x$ とするとき，次の条件(a)，(b)を満たす関数 $g (x)$ を求めよ．

(a)　 $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

(b)　 $f (x) g^{'} (x) - f^{'} (x) g (x) = h (x)$

(2)　次の条件(a)，(b)，(c)を満たす関数 $g (x) （ 0 ≦ x ≦ 4 ）$ を求めよ．

(a)　 $g (4) = 16$

(b)　区間 $0 ≦ x ≦ 4$ において $g^{'} (x) ≧ 0 ， g (x) ≧ x^{2}$

$D_{1} ： 0 ≦ x ≦ x_{0} ， g (x) ≦ y ≦ y_{0}$

$D_{2} ： 0 ≦ x ≦ x_{0} ， x^{2} ≦ y ≦ g (x)$

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【３】　集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ から $A$ 自身への写像 $g ： A \to A$ に対して，集合 ${x | x \in A ， g (x) = x}$ を $K (g)$ と表すことにする．いま，さいころを $6$ 回投げて $i$ 回目に出た目を $f (i) （ i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ）$ とする．このようにして作られる写像 $f ： A \to A$ について，次のそれぞれの確率を求めよ．

(1)　 $f$ が $1$ 対 $1$ の写像になる確率

(2)　 $K (f) = {1, 2}$ となる確率

(3)　 $f$ が $A$ の上への写像になっているという条件のもとで， $K (f) = {1, 2}$ となる確率

(4)　 $f$ が $1$ 対 $1$ の写像であることがわかっているとき， $K (f)$ が空集合かつ $K (f \circ f) = A$ となる確率

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