1989　東京工業大学MathJax

【１】　$xy$平面上の点$\mathrm{P}$から放物線$y=x^2$へ$2$本の異なる接線をひき，それらの接点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$が次の$3$つの不等式

$y\leqq x-1\text{，}y\leqq -x+1\text{，}-1\leqq y$

を同時に満たす範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の中点が動く範囲を図示せよ．

(2)　三角形$\mathrm{PQR}$の面積が$2$に等しくなる点$\mathrm{P}$はどんな曲線上にあるか．その方程式を求めよ．

【２】　$xy$平面で原点を中心とする半径$2$の円を$A\text{，}$点$(3,0)$を中心とする半径$1$の円を$B$とする．$B$が$A$の周上を，反時計まわりに，すべらずにころがって，もとの位置にもどるとき，初めに$(2,0)$にあった$B$上の点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．

(1)　$C$上の点で$x$座標が最大となる点の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

【３】　関数$f(x)$は次の等式

$f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$

を満たしているとする．関数$f(x)$が$x=0$で微分可能であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$はすべての$x$の値で微分可能であることを証明せよ．

(2)　関数$f(x)$を求めよ．

【４】　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{x}^2|\sin nx|dx$

【５】　箱の中に，$1$から$n$までの数字をそれぞれ$1$つずつ書いた$n$枚のカードが入っている．箱から無作為に$1$枚のカードをとり出して，その数字を記録し，箱にもどす．この試行を$k$回くり返し，それまでに記録された相異なる数字の個数を$S_k$とする．$S_k=r$となる確率を$P(S_k=r)$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$P(S_k=r)$を$P(S_{k-1}=r)$と$P(S_{k-1}=r-1)$で表せ．

(2)　$S_k$の期待値$E_k={\displaystyle \sum _{r=1}^k}rP(S_k=r)$を求めよ．