1989　お茶の水女子大学MathJax

【１】(1)　原点を焦点とし，$x$軸に平行な準線をもつ放物線のうち，定点$\mathrm{A}(a,b)$（ただし，$a\ne 0$）を通るものが$2$つあることを示せ．

(2)　この$2$つの放物線の$\mathrm{A}$における接線は直交することを示せ．

【２】　$xy$平面の$4$点$(1,1)\text{，}(-1,1)\text{，}(-1,-1)\text{，}(1,-1)$を頂点とする正方形をそれ自身にうつす$1$次変換について，それらを表す行列をすべて求めよ．

【３】　円${(x-1)}^2+y^2=1$と双曲線$xy=4$がある．円上の$1$点$\mathrm{P}$を通り，傾きが$1$の直線$l$を考える．$l$と双曲線の交点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．$\mathrm{P}$が円周上を動くとき，線分の長さの積${\mathrm{PQ}}_1\cdot {\mathrm{PQ}}_2$の最小値を求めよ．

【４】　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x}|\sin t|e^{-t}dt$を求めよ．

【５】　$m\text{，}n$は自然数，$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(1)　$\cos \theta \text{，}\sin \theta$がともに有理数ならば，$\cos m\theta \text{，}\sin m\theta$はともに有理数になることを示せ．

(2)　$\cos \theta ={\displaystyle \frac{n^2-1}{n^2+1}}\text{，}\sin \theta ={\displaystyle \frac{2n}{n^2+1}}$ならば$\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{n}}$となることを示せ．

(3)　円$x^2+y^2=1$上の任意の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，この円上の点$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$で中心角$\angle \mathrm{POQ}$が${\displaystyle \frac{\pi }{n}}$以下であって，$x^{\prime }\text{，}{y}^{\prime }$がともに有理数となるものがあることを示せ．

【６】　曲線$C\text{：}x={\cos }^{3}t\text{，}y={\sin }^{3}t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$がある．$[0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}]$を$n$等分した分点を$t_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$として$t_k$に対応する$C$上の点を${\mathrm{P}}_k$とする．${\mathrm{P}}_k$における$C$の接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ${\mathrm{A}}_k\text{，}{\mathrm{B}}_k$とし，$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k$の面積を$S_k$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{S}_k$を求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．