1989　一橋大学MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数の定数とし，$x$についての次の$2$つの$2$次不等式を考える．

$\begin{array}{cc}(x-a^2)(x-b^2)\leqq 0& \cdots \text{①}\\ (x-1)(x-4)\leqq 0& \cdots \text{②}\end{array}$

(1)　「$\text{①}$を満たす実数$x$はすべて$\text{②}$を満たす」という条件を成り立たせるような$a\text{，}b$を座標とする点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

(2)　「$\text{①，}\text{②}$をともに満たす実数$x$が存在する」という条件を成り立たせるような$a\text{，}b$を座標とする点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【２】　曲線$y=x^3$上の点$\mathrm{P}(a,a^3)$における接線を$l\text{，}l$がふたたびこの曲線と交わる点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{Q}$におけるこの曲線の接線を$m$とし，$2$直線$l\text{，}m$がなす角のうち鋭角であるほうを$\theta$とする．$a>0$として，次の問に答えよ．

(1)　$\tan \theta$を$a$で表せ．

(2)　$\theta$が最大になるときの$a$の値と$\tan \theta$の値を求めよ．

【３】　空間において，$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)$を$x$軸上の$2$定点とし，$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球の内部および球面上を動く動点とする．点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$をそれぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AP}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{BP}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OY}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AP}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{BP}}$

によって定めるとき，$\mathrm{X}$の動く範囲と$\mathrm{Y}$の動く範囲の和集合の体積を求めよ．

【４】　$2$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$の表す$1$次変換を，それぞれ$f\text{，}g$とする．

(1)　変換$f\text{，}g$を適当な順序で何回か繰り返せば点$\mathrm{P}(2,0)$を点${\mathrm{P}}^{\prime }(\sqrt{3},1)$に移せることを示せ．また，点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{P}}^{\prime }$に移すには，$f\text{，}g$をあわせて少なくとも何回繰り返すことが必要であるか．

(2)　変換$f\text{，}g$をどのような順序で何回繰り返しても点$\mathrm{Q}(5,0)$を点${\mathrm{Q}}^{\prime }(4,3)$には移せないことを示せ．

【５】　座標平面上に$2$つの動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．時刻$t=0$のとき，$\mathrm{A}$の位置は$(0,0)\text{，}\mathrm{B}$の位置は$(6,6)$である．以後，各時刻$t=1\text{，}2\text{，}\cdots$に硬貨を投げてその結果により$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を次のように移動させる．表が出たら，$\mathrm{A}$は$(x,y)$から$(x+1,y)$へ，$\mathrm{B}$は$(x,y)$から$(x-1,y)$へ移動させ，裏が出たら，$\mathrm{A}$は$(x,y)$から$(x,y+1)$へ，$\mathrm{B}$は$(x,y)$から$(x,y-1)$へ移動させる．ただし，硬貨の表，裏の出る確率はともに${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(1)　$1$枚の硬貨を投げ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をともにその結果に従って移動させていくとき，両者が出会う確率$p$を求めよ．

(2)　$2$枚の硬貨$\mathrm{a}\text{，}\mathrm{b}$を投げ，$\mathrm{A}$は$\mathrm{a}$の結果に，$\mathrm{B}$は$\mathrm{b}$の結果に従って移動させていくとき，両者が出会う確率$q$を求めよ．