1989　横浜国立大学　B日程MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=3a_n+2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$xy$空間における$2$平面$x+y+z-1=0\text{，}3x-y+2z-4=0$の交線の方程式とその方向ベクトルを求めよ．

【２】　$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^3-3x+1$

$C_2\text{：}y={(x-a)}^3-3(x-a)+1$

が$1$点$\mathrm{P}$だけを共有するとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の定数である．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた接線と$C_1$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$2$つの$1$次変換$f\text{，}g$をそれぞれ行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& 2\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{cc}a-1& b+1\\ 2& 1\end{array}\right)$で表されるものとする．ただし，$a\text{，}b$は定数である．さらに，$f\text{，}g$はともに逆変換をもつとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$と$g$の合成変換$g\circ f$の逆変換を表す行列を求めよ．

(2)　直線$x+y+1=0$が$g\circ f$の逆変換によって自分自身に移されるような$a\text{，}b$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$x\text{，}y\text{，}z$について，${(x+y+z)}^2\leqq 3(x^2+y^2+z^2)$が成り立つことを証明せよ．

(2)　実数$x\text{，}y\text{，}z\text{，}t$が$x+y+z+t=6\text{，}{x}^2+y^2+z^2+t^2=12$を満たすとき，$t$の最大値と最小値を求めよ．また，$xy+yz+zx$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$xyz$空間に，点$\mathrm{P}(4t+7,-5t-3,2t+1)$と球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2=9$がある．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$は$S$の外部の点であることを証明せよ．

(2)　$\mathrm{P}$を通る$S$のすべての接線の接点全体は円になる．この円の半径を$r$とするとき，$r$を$t$の式で表せ．

(3)　$t$がすべての実数値をとるとき，(2)で求めた$r$の最小値を求めよ．

【３】　$xy$平面において，行列$\left(\begin{array}{cc}a& a+1\\ -1& a^2\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}$と像$f(\mathrm{P})$との距離が$1$であるような$\mathrm{P}$全体を$D$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のときの$D$を図示せよ．

(2)　$D$が円となるときの$a$の値を求めよ．また，$D$が$2$直線となるときの$a$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)=x^3+3x^2\cos \theta -4\sin 2\theta$がある．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数である。曲線$y=f(x)$が$x$軸に接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=0$の解を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　行列$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$と$E$の実数倍でない行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$がある．実数$p\text{，}q$が$A^2=pA+qE$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$で表せ．

(2)　$3$以上のある整数$n$に対し，$A^n=O$（$O$は零行列）となるとき，$p\text{，}q$を求めよ．

(3)　$3$以上のある整数$n$に対し，$A^n=A^{n-1}$かつ$A^n\ne O$となるとき，$p\text{，}q$を求めよ．

【２】　$xy$平面に，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$と定点$\mathrm{A}(a,0)$がある．ただし，$a$は$1$と異なる正の定数である．$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$を通り線分$\mathrm{AP}$に垂直な直線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$(u,v)$とするとき，$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が$C$上を$1$周するとき，$l$が通過する範囲を不等式で表せ．

(3)　(2)で求めた範囲を図示せよ．

【３】　関数$f(x)=x^3+3x^2\cos \theta -4\sin 2\theta$がある．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数である。曲線$y=f(x)$が$x$軸に接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$f(x)=x^n\log x$（$n$は正の整数）とおく．ただし，対数の底は$e$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数および不定積分を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸にはさまれた部分のうち，$2$直線$x=1$と$x=e$の間にある部分を，$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【５】　$1$枚の硬貨を繰り返し投げるとき，$k$回目の試行で表が出れば値$1\text{，}$裏が出れば値$0$をとる確率変数を$X_k$によって表し，

$Y_n={\displaystyle \frac{X_1}{2}}+{\displaystyle \frac{X_2}{2^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{X_n}{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　確率$P(Y_{10}<{\displaystyle \frac{1}{3}})$を求めよ．

(2)　確率変数${(Y_n)}^m$（$m$は正の整数）の期待値を$E({(Y_n)}^m)$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }E({(Y_n)}^m)$を$m$の式で表せ．