1989　新潟大学MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 2\end{array}\right)$に対して，$2$次の行列$X\text{．}Y$が$X+Y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}XY=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}$および$aX+bY=A$を満たす．ただし，$a\text{，}b$は定数で$a>b$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}X\text{，}Y$を求めよ．

(2)　$X^3\text{，}{Y}^3$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$A^n=a_{n}X+b_{n}Y$となる$a_n\text{，}{b}_n$を推定し，そのことを数学的帰納法で証明せよ．

【２】　辺$\mathrm{AB}$の長さが辺$\mathrm{AC}$の長さより大である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{O}$を外接円の中心，$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$を満たす$s\text{，}t$の値を求めよ．

(2)　(1)を用いて，$\overline{\mathrm{BD}}:\overline{\mathrm{CD}}={\overline{\mathrm{AB}}}^2:{\overline{\mathrm{AC}}}^2$を示せ．ただし，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に対し，$\overline{\mathrm{PQ}}$は線分$\mathrm{PQ}$の長さを表す．

【３】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$で表される$1$次変換による放物線$y^2=25x$の像を$C$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(x^{\prime },y^{\prime })$について$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=u\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)+v\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$とおくとき，$u\text{，}v$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$xy$平面上に曲線$C$の概形をかけ．

【４】　$3$次関数$f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$のグラフは，$3$点$\mathrm{A}(-a,0)\text{，}\mathrm{B}(a,0)\text{，}$および$\mathrm{C}(0,a^2)$を通るという．ただし，$a$は正の定数とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　このグラフが$x$軸と相異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$および$\mathrm{D}(k,0)$で交わるとき，点$\mathrm{C}$におけるこの曲線の接線は必ず$\mathrm{D}$を通ることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}$の位置関係によるグラフの場合分けをし，各々の場合について，線分$\mathrm{AB}$と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

　さらに，この中で，その面積が一定になるような$p$の範囲を求めよ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする平面上に$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が一直線上にないように点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BD}\text{，}\mathrm{AE}$の交点を$\mathrm{C}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DE}$の中点をそれぞれ$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{U}$とするとき，$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{U}$は一直線上にあることを示せ．

【２】　数列$x_1,x_2,x_3,\cdots$が$x_1=0\text{，}{x}_2=2\text{，}$および$x_n-x_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}_{n-2}=0\text{（}n\geqq 3\text{）}$を満たすとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$x_n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{x_k}{k-1}}$を求めよ．

【３】　式$y=x^3-6x^2-36x$で表される曲線$C$と直線$l$が接しているものとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$の接点および交点の$x$座標が正または$0$であるとき，接点の$x$座標$a$の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$の値が最大のとき，$C$と$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$1$秒間隔で$1$個ずつ玉を台の上に置いてゆき，それぞれの玉は台に置かれてから$1$秒後，$2$秒後，$3$秒後のいずれかで必ず取り去られるものとする．$1$秒後に取り去られる確率を$p\text{，}2$秒後に取り去られる確率を${\displaystyle \frac{p}{2}}\text{，}3$秒後に取り去られる確率を${\displaystyle \frac{p}{4}}$として，次の各問いに答えよ．

(1)　$p$を求めよ．

(2)　玉を置き始めて十分時間が立ってからの台上の個数を$X$とするとき，$X=2$となる確率を求めよ．

(3)　$X$の期待値を求めよ．

【２】　平面上に$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が一直線上にないようにとり，ベクトル$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を次のように定める．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}⫽\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|$

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}⫽\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\left|\overrightarrow{d}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$

このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$n$を正数として，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}=n\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$のとき，比$\left|\overrightarrow{a}\right|:\left|\overrightarrow{b}\right|$の値を求めよ．

(3)　$n$が自然数のとき，$n$および，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$のなす角を求めよ．

【３】　$xyz$空間に$3$直線

$l\text{：}x=y=z\text{，}m\text{：}x-1=y-1=z\text{，}n\text{：}x-y-1=z=0$

があり，$l\text{，}m$の決定する平面を$\pi$とする．$n$上の点$\mathrm{P}$に対し，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をそれぞれ$l\text{，}m\text{，}\pi$上に$\mathrm{PA}\perp l\text{，}\mathrm{PB}\perp m\text{，}\mathrm{PC}\perp \pi$となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　平面$\pi$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を$(t,t-1,0)$とするとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$t$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$の長さの和は，$t=1$のとき最小となることを示せ．

【４】　微分方程式

$x{(f^{\prime }(x))}^2-2f(x)f^{\prime }(x)+x=0$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　$x$の整式で表される関数$f(x)$で上の微分方程式を満たすものを求めよ．

(2)　実数$p\text{，}q$に対し，(1)で求めた関数$f(x)$で$q=f(p)$を満たすものがあるという．このような点$(p,q)$の存在範囲を図示せよ．

【５】　$x$の連続関数$f(x)$に対して，

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}tf(t)dt+x{\displaystyle {\int }_x^1}f(t)dt$

とおくとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$F^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)=A\sin px+B\cos px$のとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．ただし，$A\text{，}B\text{，}p$は定数で$p>0$とする．

(ⅰ)　$F(1)$を求めよ．

(ⅱ)　ある定数$q$に対して，$f(x)=q^{2}F(x)$となるような$f(x)$を求めよ．

【５】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$である硬貨を$n$回$\text{（}n\geqq 2\text{）}$続けて投げるとき，$m$回目に表が出たら$X_m=1\text{，}$裏が出たら$X_m=0$とする．いま，$X_1$と異なる数字が$k+1$回目に初めて出たとき，$X=k$とおく．ただし，$n$回とも同じ数字の場合は$X=n$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\{X=k\}$という事象を$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$を用いて表せ．

(2)　$X$の確率分布を求めよ．

(3)　$X$の期待値$E(X)$を求めよ．