1989　金沢大学MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y={(x-1)}^2\text{（}-1<x<1\text{）}$に対し，この曲線上の点$\mathrm{P}(t,{(t-1)}^2)$における$C$の接線$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は座標の原点である．

(3)　点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{（}ad-bc>0\text{）}$で表される$1$次変換を$f$とする．

(1)　$a=d$かつ$b=-c$のとき，ベクトル$\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$と任意の零でないベクトル$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$に対し，$f(\overrightarrow{e_1})$と$f(\overrightarrow{x})$のなす角は$\overrightarrow{e_1}$と$\overrightarrow{x}$のなす角に等しいことを示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{e_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{e_2}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$および$\overrightarrow{e_3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{e_4}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$に対し，$f(\overrightarrow{e_1})$と$f(\overrightarrow{e_2})\text{，}f(\overrightarrow{e_3})$と$f(\overrightarrow{e_4})$がそれぞれ直交するとき，$a=d$かつ$b=-c$を示せ．

【３】　$N=2^{131}+192$とする．

(1)　正の整数$n$に対し，$2^{3n}-1$は$7$の倍数であることを示せ．

(2)　$N$は$224$の倍数であることを示せ．

(3)　$N$は何けたの数か．

(4)　$N$を$224$で割った商は何けたの数か．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【３】　正の定数$a$に対して，関数$f(x)$は等式

$f(x)=x{e}^{-\frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{a+1}}{\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt$

を満たす．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^a}f(t)dt$の値を$a$で表せ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【４】(1)　$1$枚の硬貨を$n$回繰り返して投げるとき，確率変数$T$を次の規則で定めるものとする．

「$k$回目に初めて表が出たとき$T=k$とし，$n$回とも表が出ない場合には$T=n$とする．」

$1$回の試行でこの硬貨の表が出る確率を$p\text{（}0<p<1\text{）}$とするとき，

(ⅰ)　$T$の確率分布を求め，

(ⅱ)　期待値$E(T)$を$n$と$p$の式で表せ．

(2)　(1)の(ⅱ)で求めた$n$と$p$の式を$f_n(p)$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{f}_n\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$の値を求めよ．