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1989 信州大学 経済学部

易□ 並□ 難□

【1】  a b を正の定数とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  |x+ y|+ |x- y|< a ならば | x|+ |y |<a であることを示せ.

(2)  |x |+| y|< a ならば x 2+y 2<a 2 であることを示せ.

(3) 「 x2+ y2< a2 ならば | x+y| +|x -y| <b である」という命題が真であるために正の定数 a b が満たす関係を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 不等式

logx y2 +logy x2 5

を満たす点 ( x,y ) の存在する範囲を図示せよ.

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代数幾何・基礎解析

理学部は【1】

易□ 並□ 難□

【3】  1 次変換 A =( k1 1k ) によって自分自身に移される直線を求めたい. k の値に応じてその直線の方程式を求めよ.

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代数幾何・基礎解析

理学部は【5】

易□ 並□ 難□

【4】  4 次関数 f (x )= x4+a x3 +b x2 について次の問いに答えよ.

(1)  y=f (x ) のグラフが異なる 2 点で接する直線をもつために a b が満たす条件を求め,さらにその接線の方程式を求めよ.

(2) (1)の条件下で,曲線 y =f( x) と(1)で求めた接線で囲まれた図形の面積を求めよ.

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代数幾何・基礎解析

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【2】 相異なる数からなる数列

a b a2 ab b2 a3 a2 b a b2 b3 について次の問いに答えよ.

(1)  a20 b5 は第何項か.

(2)  a1 b 1 のとき初項から第 135 項までの和を求めよ.

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代数幾何・基礎解析

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【3】  xyz 空間の点

P (θ )=( - 3cos θ+sin θ+1 cosθ +sinθ -3 , cos θ-3 sinθ +1cos θ+sin θ-3 , 3 cosθ +3sin θ-5 cosθ +sinθ -3 )

と点 ( 1,1, 3) を結ぶ直線が x y 平面と交わる点を Q (θ ) とする.

(1) 点 Q (θ ) の座標を求めよ.

(2)  θ 0 θ< 2π の範囲を動くとき,点 Q (θ ) のえがく曲線の方程式を求めよ.

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代数幾何・基礎解析

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1989年信州大理学部【4】の図

【4】 座標平面上で,原点を中心とする半径 1 の円 C 1 のまわりを半径 2 の円 C 2 C 1 に接しながら滑らないように回転しているとする.円 C 2 上の点 P ( x,y ) は,はじめに点 A (1 ,0) にあるとする.

(1) 円 C 2 の中心を Q とする. AOQ= θ のとき, x y θ を用いて表せ.

(2)  x のとる値の範囲を求めよ.



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微分積分 数学科は必須,他学科は理科との選択

易□ 並□ 難□

【1】  a b 14 a 2<b <a2 を満たす正の定数とする.関数 f (x )= x2+ ax+ b- 12x について次の問いに答えよ.

(1) 曲線 y =f (x ) の漸近線を求めよ.

(2) 関数 f ( x) の最小値を求めよ.

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微分積分 数学科は必須,他学科は理科との選択

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【2】

f0 (x )=cos x f n( x)= cosx+ x4 0π 2 fn-1 ( t) sint dt n=1 2 3

で定義される関数列 { fn (x )} の一般項 fn (x ) を求めよ.

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微分積分 数学科は必須,他学科は理科との選択

易□ 並□ 難□

【3】  x0 で定義された f (x ) 0 を満たす増加関数 y =f( x) が表す曲線を C とする. C 上の任意の点 P から x 軸, y 軸におろした垂線の足をそれぞれ Q R とする. C x 軸, y 軸,線分 PQ で囲まれた図形の面積が, C y 軸,線分 PR で囲まれた図形の面積の 2 倍に等しいという.関数 f ( x) を求めよ.

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