1989　信州大学　工学部MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}2& p\\ q& 3\end{array}\right)$が表す$xy$平面上の$1$次変換$f$により，直線$2x+y=a$上のすべての点が原点に移されるとする．

(1)　$p\text{，}q\text{，}a$の値を求めよ．

(2)　$1$次変換$f$により円$x^2+y^2=4$が移される図形を図示せよ．

【２】　空間に，$2$直線

$l_1\text{：}{\displaystyle \frac{x-2}{3}}={\displaystyle \frac{y-3}{4}}={\displaystyle \frac{z-4}{5}}$

$l_2\text{：}{\displaystyle \frac{x+2}{5}}={\displaystyle \frac{y-3}{4}}={\displaystyle \frac{x+4}{3}}$

がある．

(1)　$l_1\text{，}{l}_2$が交わらないことを示せ．

(2)　$l_1$を含み，$l_2$と交わらない平面の方程式を求めよ．

【１】　関数

$f(x)=a{\cos }^2\theta +(a-b)\sin \theta \cos \theta +b{\sin }^2\theta$

の最大値が$3+\sqrt{7}\text{，}$最小値が$3-\sqrt{7}$となるように$a\text{，}b$の値を求めよ．

【２】　点$(1,a)$を通り，曲線$y=2x^3+a{x}^2+ax$に接する直線がちょうど$2$つあるように$a$の値を定めよ．

【１】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$は正の定数で${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1$であるとする．すべての正の実数$x$に対して，不等式

$ab\leqq {\displaystyle \frac{1}{p}}{a}^p{x}^p+{\displaystyle \frac{1}{q}}{b}^q{x}^{-q}$

が成り立つことを示せ．

【２】　曲線

$C\text{：}x=3t^2\text{，}y=3t^3-t\text{（}t\geqq 0\text{）}$

上に原点$\mathrm{O}$と異なる動点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{P}$までの曲線$C$の長さと点$\mathrm{P}$の座標との比の値が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．