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1989-10421-0401
1989 信州大学 繊維学部
易□ 並□ 難□
【1】 y=x -n で表される曲線 C がある.曲線 C 上の点 P0 ( 1,1 ) を通る接線と x 軸の交点を x 1 とする.次に,曲線 C 上の点 P1 ( x1, y1 ) を通る接線と x 軸の交点を x 2 とする.続いて,曲線 C 上の点 P2 ( x2, y2 ) を通る接線と x 軸の交点を x 3 とする.このような操作を m 回繰り返し,点 Pm ( xm, ym ) を得る. n≧1 として,次の問いに答えよ.
(1) xm を求めよ.
(2) limn →∞ ym を求めよ.
(3) ∑m= 1∞ limn →∞ ym を求めよ.
1989-10421-0402
【2】 座標平面上での動点 P ( x,y ) が時刻 t の関数として
x=ω ⁢t+sin ⁡ω⁢ t ,y =1+cos ⁡ω⁢ t
で与えられている. ω>0 を定数として,次の問いに答えよ.
(1) 速度 v→ , 加速度 α → を求めよ.
(2) 速さ | v→ | の概形を図示せよ.
(3) 1 T⁢ ∫ 0T | v→ | ⁢dt ( T= 2⁢π ω ) で定義される平均の速さを求めよ.
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【3】 無限級数
x- x22 + x33 - x44 +⋯+ (- 1) (n- 1) ⁢ x nn +⋯
の和を f ⁡(x ) として,次の問いに答えよ.ただし | x|< 1 とせよ.
(1) 第 1 次導関数 df dx を求めよ.
(2) f⁡( x)= log⁡( 1+x ) であることを示せ.
(3) log⁡0.9 の近似値を小数第 3 位まで求めよ.
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【4】 y= ex +e- x2 + 14 で表される曲線 C 1 と y = e2⁢ x+ e-2⁢ x4 で表される曲線 C 2 がある.次の問いに答えよ.
(1) 曲線 C1 ,C2 の交点は 2 点であることを示し,交点の座標を求めよ.
(2) 曲線 C1 ,C 2 で囲まれる面積を求めよ.
(3) 曲線 C1 ,C2 の交点間の距離を l1 ,l2 とする. l1 +l2 を求めよ.