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1989 信州大学 繊維学部

易□ 並□ 難□

【1】  y=x -n で表される曲線 C がある.曲線 C 上の点 P0 ( 1,1 ) を通る接線と x 軸の交点を x 1 とする.次に,曲線 C 上の点 P1 ( x1, y1 ) を通る接線と x 軸の交点を x 2 とする.続いて,曲線 C 上の点 P2 ( x2, y2 ) を通る接線と x 軸の交点を x 3 とする.このような操作を m 回繰り返し,点 Pm ( xm, ym ) を得る. n1 として,次の問いに答えよ.

(1)  xm を求めよ.

(2)  limn ym を求めよ.

(3)  m= 1 limn ym を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上での動点 P ( x,y ) が時刻 t の関数として

x=ω t+sin ω t y =1+cos ω t

で与えられている. ω>0 を定数として,次の問いに答えよ.

(1) 速度 v 加速度 α を求めよ.

(2) 速さ | v | の概形を図示せよ.

(3)  1 T 0T | v | dt ( T= 2π ω ) で定義される平均の速さを求めよ.

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【3】 無限級数

x- x22 + x33 - x44 ++ (- 1) (n- 1) x nn +

の和を f (x ) として,次の問いに答えよ.ただし | x|< 1 とせよ.

(1) 第 1 次導関数 df dx を求めよ.

(2)  f( x)= log( 1+x ) であることを示せ.

(3)  log0.9 の近似値を小数第 3 位まで求めよ.

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【4】  y= ex +e- x2 + 14 で表される曲線 C 1 y = e2 x+ e-2 x4 で表される曲線 C 2 がある.次の問いに答えよ.

(1) 曲線 C1 C2 の交点は 2 点であることを示し,交点の座標を求めよ.

(2) 曲線 C1 C 2 で囲まれる面積を求めよ.

(3) 曲線 C1 C2 の交点間の距離を l1 l2 とする. l1 +l2 を求めよ.

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