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1989 名古屋大学 A日程

文科系,理科系共通

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x ) x 3 次式で, x=0 で極大値 3 をとり, x=1 で極小値 - 1 をとるものとする.

(1)  f( x) を求め,そのグラフの概形をかけ.

(2)  f( x)= 0 の負の解を - α 正の解を β γ β<γ とするとき, α<β であることを証明せよ.

1989 名古屋大学 A日程

文科系・理科系共通

理科系は【1】

易□ 並□ 難□

【2】  P( x) x 3 次式, a b を定数とし, F( x)= ax P( t) dt とする. 3 次式 P (x ) をどのようにとっても, F( x) ( x-b ) で割り切れるための必要十分条件は, a=b であることを証明せよ.

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文科系・理科系共通

易□ 並□ 難□

【3】(1)  A=( a b bc ) の形をした実数の行列で, A2 =A を満たし,零行列 ( 00 00 ) でも単位行列 ( 10 01 ) でもないものをすべて求めよ.

(2) 上のような行列 A によって定まる 1 次変換によって,平面上のすべての点は,原点を通る一定の直線上に移されることを証明せよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 y =ax 2 と曲線 y =logx +b がただ 1 つの点で交わり,その交点で共通の接線をもつものとする.

(1)  b a を用いて表せ.

(2)  a= 12 のとき,これらの曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

【2】 空間に 2 F1 F 2 がある.その間の距離を 2 とし,中点を O とする.次の条件(ア),(イ)を満たす点 P 全体のなす立体の体積を求めよ.

(ア)  OPr (ただし, r 2 2 r3 を満たす定数)

(イ)  P F1 +P F2 6

1989 名古屋大学 A日程

理科系

易□ 並□ 難□

【3】  xy 平面上に 2 P= (0, 1) Q =(1 ,2) をとる. 2 次正方行列 A の定める 1 次変換を f とするとき, f は点 Q Q 自身に移し, P Q を通る直線 l 上の点を同じ l 上の点に移すものとする.

(1) このような行列 A をすべて求めよ.

(2) 上のような行列 A の中で次の条件(*)を満たすものを求めよ.

(*)  P n=( xn, yn ) P1 =P P n+1 =f ( Pn ) n1 で定めるとき, limn P n= Q すなわち limn xn= 1 lim n yn =2 である.

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理科系

【4(a)】と【4(b)】で1問選択

易□ 並□ 難□

【4(a)】  硬貨を n 回続けて投げるとき,表が連続して出ることはない確率を p n とする.

(1)  pn p k k<n を用いて表せ.ただし, n3 とする.

(2)  p10 を求めよ.

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理科系

【4(a)】と【4(b)】で1問選択

易□ 並□ 難□

【4(b)】 四面体 ABCD において, AB=CD AC=BD AD=BC が成立するならば,三角形 ABC は鋭角三角形であることを証明せよ.

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