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1989-10481-0101
1989 名古屋大学 A日程
文科系,理科系共通
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x ) は x の 3 次式で, x=0 で極大値 3 をとり, x=1 で極小値 - 1 をとるものとする.
(1) f⁡( x) を求め,そのグラフの概形をかけ.
(2) f⁡( x)= 0 の負の解を - α , 正の解を β , γ ( β<γ ) とするとき, α<β であることを証明せよ.
1989-10481-0102
文科系・理科系共通
理科系は【1】
【2】 P⁡( x) を x の 3 次式, a ,b を定数とし, F⁡( x)= ∫ ax P⁡( t)⁢ dt とする. 3 次式 P ⁡(x ) をどのようにとっても, F⁡( x) が ( x-b ) で割り切れるための必要十分条件は, a=b であることを証明せよ.
1989-10481-0103
【3】(1) A=( a b bc ) の形をした実数の行列で, A2 =A を満たし,零行列 ( 00 00 ) でも単位行列 ( 10 01 ) でもないものをすべて求めよ.
(2) 上のような行列 A によって定まる 1 次変換によって,平面上のすべての点は,原点を通る一定の直線上に移されることを証明せよ.
1989-10481-0104
理科系
【1】 曲線 y =a⁢x 2 と曲線 y =log⁡x +b がただ 1 つの点で交わり,その交点で共通の接線をもつものとする.
(1) b を a を用いて表せ.
(2) a= 12 のとき,これらの曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
1989-10481-0105
【2】 空間に 2 点 F1 ,F 2 がある.その間の距離を 2 とし,中点を O とする.次の条件(ア),(イ)を満たす点 P 全体のなす立体の体積を求めよ.
(ア) OP≧r (ただし, r は 2 ⁢2≦ r≦3 を満たす定数)
(イ) P F1 +P F2 ≦6
1989-10481-0106
【3】 xy 平面上に 2 点 P= (0, 1) ,Q =(1 ,2) をとる. 2 次正方行列 A の定める 1 次変換を f とするとき, f は点 Q を Q 自身に移し, P , Q を通る直線 l 上の点を同じ l 上の点に移すものとする.
(1) このような行列 A をすべて求めよ.
(2) 上のような行列 A の中で次の条件(*)を満たすものを求めよ.
(*) P n=( xn, yn ) を P1 =P , P n+1 =f⁡ ( Pn ) ( n≧1 ) で定めるとき, limn →∞ P n= Q すなわち limn →∞ xn= 1 ,lim n→∞ yn =2 である.
1989-10481-0107
【4(a)】と【4(b)】で1問選択
【4(a)】 硬貨を n 回続けて投げるとき,表が連続して出ることはない確率を p n とする.
(1) pn を p k ( k<n ) を用いて表せ.ただし, n≧3 とする.
(2) p10 を求めよ.
1989-10481-0108
【4(b)】 四面体 ABCD において, AB=CD , AC=BD , AD=BC が成立するならば,三角形 ABC は鋭角三角形であることを証明せよ.