1989　名古屋大学　Ｂ日程MathJax

【１】　直線上を運動する点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$が定点$\mathrm{O}$を通過してから$t$分後の速度は$f(t)=3a{t}^2+2bt+c\text{（}\mathrm{km}/\text{分）}\text{（}a\ne 0\text{）}$であって，$1$分後には，点$\mathrm{O}$から$4\mathrm{km}$離れた点$\mathrm{A}$で停止する．

　${\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(t)\}}^{2}dt$が最小になるような$f(t)$を求めよ．

【２】　$zyz$空間内に交わらない$2$直線

$L\text{：}x-1={\displaystyle \frac{y-1}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}}\text{，}{L}^{\prime }\text{：}x=y=1-z$

がある．

(1)　$L$を含み$L^{\prime }$に垂直な平面の方程式を求めよ．

(2)　原点を通り，$L$と$L^{\prime }$に垂直な直線の方程式を求めよ．

(3)　交わらない$2$直線に対し，一方を含み，他方に垂直な平面が存在するための必要十分条件を求め，それが必要十分条件であることを証明せよ．

【３】　$n$個の数$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$は条件

$x_k=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{j=1}^k}{x}_j\text{（}1\leqq k\leqq n\text{）}$

を満たしている．$x_n$を求めよ．