1989　名古屋工業大学MathJax

【１】　空間の点${\mathrm{P}}_t(t^3,1-t^2,\sqrt{3}{t}^2)$を$x$軸のまわりに$\theta$だけ回転した点${\mathrm{Q}}_t$から$xy$平面にひいた垂線の足を${\mathrm{H}}_t$とする．$t$が$0$から$1$まで変わるとき${\mathrm{H}}_t$の描く曲線$C(\theta )$の長さ$L(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の$3$つの条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．

${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)f^{″}(t)dt=\log (x+1)\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^1}{f}^{\prime }(t)f^{″}(t)dt=0\text{，}$$f(0)=0$

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間において，次の問いに答えよ．

(1)　原点と異なる点$\mathrm{P}$が集合

$K=\{(x,y,z):x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0\}$

内を動くとき，$\mathrm{P}$から直線$x=y=z$にひいた垂線の足${\mathrm{P}}^{\prime }$に対して比${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}}$の最小値を求めよ．

(2)　$m$個の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_m$が$K$内にあるとき，不等式

$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}\right|+\left|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}\right|+\cdots +|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_m}|$$\leqq \sqrt{3}|\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_1}+\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_2}+\cdots +\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_m}|$

が成り立つことを示せ．

(3)　空間内に$n$個の点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_n$が与えられたとき，不等式

$\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_1}\right|+\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_2}\right|+\cdots +\left|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_m}\right|$$\leqq 8\sqrt{3}|\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_{i_1}}+\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_{i_2}}+\cdots +\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_{i_k}}|$

が成り立つような，$\{1,2,\cdots ,n\}$の部分集合$\{i_1,i_2,\cdots ,i_k\}$が選べることを示せ．

【４】　座標空間内の図形

$\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leqq 1\}$$\cap \{(x,y,z):x+y+az=1\}$

を$x$軸のまわりに回転してえられる回転体の体積$V(a)$の最大値を求めよ．ただし，$a\geqq 0$とする．