1989　京都大学　前期MathJax

【１】　座標平面において，正方形$D=\{(x,y)|\left|x\right|\leqq 1\text{，}\left|y\right|\leqq 1\}$を考える．行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$によって$D$が$D$の部分集合にうつされるための必要十分条件は

$\left|a\right|+\left|b\right|\leqq 1$かつ$\left|c\right|+\left|d\right|\leqq 1$

であることを証明せよ．

【２】　$5$つの実数$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$があり，どの$a_i$も他の$4$つの相加平均より大きくはないという．このような$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$をすべて求めよ．

【３】　座標平面内で，次の$3$曲線（うち$1$つは直線）に囲まれる部分の面積を求めよ．

$y=-x^3-3x^2-3x-2\text{，}x=\sqrt{y+3}-1\text{，}y=0$

【４】　関数$y=x^3-ax$のグラフ上の点$\mathrm{P}$における接線$T_{\mathrm{P}}$がこのグラフと再び交わる点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$T_{\mathrm{P}}$がこのグラフと共有する点が$\mathrm{P}$以外にないときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$と定める．

(1)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$c$として，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$におけるこのグラフへの接線が$T_{\mathrm{P}}$と直交するような$\mathrm{P}$は何個あるか．

【５】　$N$色（$N\geqq 3$）の絵の具のセットがある．$1$つの立方体の面を各面独立に，各色を確率${\displaystyle \frac{1}{N}}$で選んで塗る．このとき，塗られた結果が，使用された色の数が$3$以内で，かつ，同色の面が隣り合うことになっていない確率$P(N)$を求めよ．また，$N$の異なる値$a\text{，}b$に対して，$P(a)$と$P(b)$の大きさを比較せよ．

【１】　$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1=\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1=1\text{，}\angle {\mathrm{B}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1=\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$であるような二等辺三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$がある．辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$の中点を${\mathrm{B}}_2$とし，辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1$上に$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2=\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2$となる点${\mathrm{A}}_2$をとり，二等辺三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2$を作る．以下同様にして，$n>2$についても二等辺三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$を作っていく．

　辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n$の長さを$a_n$とおく．

(1)　$a_3\cdot \sin {\displaystyle \frac{\theta }{4}}$を計算せよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を計算せよ．

【２】　$n$個（$n\geqq 3$）の実数，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$があり，各$a_i$は他の$n-1$個の相加平均より大きくはないという．このような$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$の組をすべて求めよ．

【３】　$f(x)$は$x$の$3$次式で，$f(x)$をその導関数$f^{\prime }(x)$で割ったときの余りは定数である．このとき方程式$f(x)=0$を満たす実数$x$はただ$1$つであることを示せ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はたがいに直交している．$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$となる点$\mathrm{G}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$に直交する平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口は，どのような図形か．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のそれぞれの長さ$a\text{，}b\text{，}c$の関係により区分して述べよ．

　また，$a=7\text{，}b=8\text{，}c=9$のとき，その切り口の面積を求めよ．

【６】　高さ$10\mathrm{cm}$の円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$形の内部をもつタンクがあり，円錐の底面が下側にあって水平であるように置かれている．タンク内の水位（水の深さ）が$y\mathrm{m}\text{（}y<10\text{）}$のときには$(10-y)l/\text{分}$の速度で注水することにする．

　タンクが空のときに注水を始めて，$9$時間後に水位が$2\mathrm{m}$になった．タンクに水が一杯になるのは，あと何時間後か．