1989　京都大学　後期MathJax

【１】　縦$40\mathrm{cm}\text{，}$横$25\mathrm{cm}$の長方形がある．その四隅から，$1$辺の長さ$x\mathrm{cm}$の正方形を切り取り，残りの紙を折りまげて，直方体の形の，ふたのない容器を作る．このとき，この箱の容器を$V{\mathrm{cm}}^3$とする．$V$を$x$の式で表せ．また$V$が最大となる$x$の値を求めよ．

【２】　$2$つの奇数$a\text{，}b$にたいして，

$m=11a+b\text{，}n=3a+b$

とおく．次の(1)，(2)を証明せよ．

(1)　$m\text{，}n$の最大公約数は，$a\text{，}b$の最大公約数を$d$として，$2d\text{，}4d\text{，}8d$のいずれかである．

(2)　$m\text{，}n$がともに平方数であることはない．（整数の$2$乗である数を平方数という．）

【３】　座標平面において，次の条件を満たす$▵\mathrm{ABC}$と半平面$H=\{(x,y)|x\geqq 0\}$との共通部分の面積の最大値を求めよ．$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$であるような二等辺三角形であって，$\mathrm{BC}$は$y$軸に平行で，$\mathrm{A}$の座標は$(-1,0)$である．また，$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{DB}=2\sqrt{3}$である．

【４】　$a\text{，}b$は，ともに$0$でない実数で，$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$とおく．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$\mathrm{P}(x,y)$が単位円$x^2+y^2=1$の周上を動く．また，点$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$を$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$によって定める．このとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【５】　$n$は$3$以上の自然数である．赤玉と白玉合わせて$n$個ずつ入ったつぼが${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$個あり，その内訳は次のようになっている．

　各$m=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$について，$m$個の赤玉と$n-m$個の白玉の入っているつぼがちょうど$m$個ある．

　いま，これらのつぼの$1$つを無作為にとり，さらにそのつぼの中から$1$つの玉を無作為に取り出すとき，その玉が白玉である確率を求めよ．

【１】　$x$の関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$および$2$次導関数$f^{″}(x)$が存在して，次の$3$条件を満たしている．

(ⅰ)　$f(0)>0$，

(ⅱ)　$f^{\prime }(0)>0$

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，つねに$f^{″}(x)>f(x)$

このとき$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，つねに$f(x)>0$であることを示せ．

【２】　座標平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．

　$4$つの格子点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(a,b)\text{，}\mathrm{B}(a,b+1)\text{，}\mathrm{C}(0,1)$を考える．ただし，$a\text{，}b$は正の整数で，その最大公約数は$1$である．

(1)　平行四辺形$\mathrm{OABC}$の内部（辺，頂点は含めない）に格子点はいくつあるか．

(2)　(1)の格子点全体を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_i$とするとき，$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}_i\mathrm{A}\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}i\text{）}$の面積のうちの最小値を求めよ．ただし，$a>1$とする．

【３】　$2$次方程式$a{x}^2-bx+3c=0$において，$a\text{，}b\text{，}c$は一$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の自然数であり，$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$は

$1<\alpha <2\text{，}5<\beta <6$

を満たす．このとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　放物線$y=x^2$を$y$軸のまわりに回転してできる曲面があり，$y$軸が水平面に垂直で$y$軸の正の部分が上方にあるように置いてある．その曲面の中に半径$r(r>{\displaystyle \frac{1}{2}})$の球を落とし込む．

　このとき，この回転面と球面とで囲まれた部分の体積を求めよ．

【５】　$n$は自然数で，$n\geqq 3$である．数$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$のいずれについても，それが記入されたカードが$1$枚ずつ，計$n$枚のカードがある．

　$\mathrm{A}$君は，それらのカードのうち$2$枚を無作為に取り出し，それらに記入されている数のうち大きい方を$\mathrm{A}$君の得点とする．

　$\mathrm{B}$君は，それらのカードから$1$枚を無作為に取り出し，書かれている数を確認してから，そのカードを返すことを$2$回くり返して，書かれている数の大きい（または小さくない）方を$\mathrm{B}$君の得点とする．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両君のうち得点の大きい方を勝ちとする．

　$\mathrm{A}$君の勝つ確率$p$と$\mathrm{B}$君の勝つ確率$q$との大小を比較せよ．

【６】　$F(x)={\displaystyle \frac{ax}{x+1}}$とおく．ただし，$a$は定数で$0<a\leqq 1$である．関数の列$\{f_n(x)\}$を次によって定める．

(ⅰ)　$f_1(x)=F(x)$

(ⅱ)　$f_{n+1}(x)=F(f_n(x))\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$f_n(x)$を$a\text{，}x\text{，}n$の式で表せ．

(2)　次の条件を満たす数列$\{b_n\}$を$1$つ作れ，（$a$の値によって，異なる数列であってもよい．）

〔条件〕　$c>0$ならば，数列$\{b_n\cdot f_n(x)\}$は正の数に収束する．