1989　大阪大学　前期MathJax

【１】　座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする角$\theta$（ただし$0<\theta <\pi$）の回転を表す$1$次変換$f$とベクトル$\overrightarrow{a}$が与えられているとする．

(1)　$f(\overrightarrow{b})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$となるベクトル$\overrightarrow{b}$が存在することを示せ．

(2)　さらに，すべてのベクトル$\overrightarrow{p}$に対して

$|f(\overrightarrow{p})+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}|$

が成り立つことを示せ．

【２】　$xyz$空間内において，

球面${(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-1)}^2=10$と平面$z=0$

との交わりの曲線を$C_1$とし，

球面$x^2+y^2+{(z-2)}^2=16$と平面$x+2y+2z=4$

との交わりの曲線を$C_2$とする．

　$C_1$と$C_2$とが同一球面上にあることを示し，その球面の方程式を求めよ．

【３】　関数$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$は$x=3$のとき極小値$0$をとり，曲線$y=f(x)$上の点$(1,8)$における接線が$(3,0)$を通るとする．

　このとき，

(1)　定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を定めよ．

(2)　$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　$|{\cos }^{2}x+a\sin x+b|\leqq 3$がすべての実数$x$について成り立つような，点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ．

【１】　一次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& a-2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を$f$と表す．原点を通る直線$l$の$f$による像を$f(l)$とし，$l$と$f(l)$とが直交するとき，$l$は”性質$P$をもつ”ということにする．

(1)　$a$がどのような範囲にあるとき，性質$P$をもつ$l$が存在するか．

(2)　$a$がどのような値のとき，性質$P$をもつ$l$が$2$本存在して，それらのなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$になるか．

【２】　正の整数$n$に対して$x_n=r^n\sin n\theta (\text{ただし}r>0\text{，}0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とおく．

　$x_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\text{，}{x}_2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}$であるとき

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{x}_n$

の値を求めよ．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$が与えられている．点$\mathrm{A}$を$1$つの頂点とする長方形$\mathrm{ADEF}$が，つぎの条件(イ)，(ロ)をみたしながら変化するものとする．

(イ)　辺$\mathrm{DE}$上に点$\mathrm{B}$がある．

(ロ)　辺$\mathrm{EF}$上に点$\mathrm{C}$がある．

　このとき，長方形$\mathrm{ADEF}$の面積の最大値を$\theta \text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．ただし$\theta =\angle \mathrm{BAC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$である．

【４】　$a$は正の定数とする．$t>1$に対し，曲線$y=x^a\log x$上の点$\mathrm{P}=(t,t^a\log t)$における接線が，$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，点$(t,0)$を$\mathrm{R}$とする．

　三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_1(t)\text{，}$曲線$y=x^a\log x$の$x\geqq 1$の部分と，$2$つの直線$y=0\text{，}x=t$とで囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．

$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_2(t)}{S_1(t)}}$

の値を求めよ．

【５】　$xy$平面上の点集合$\{(i,j)|i=0,1,\cdots ,n;j=0,1,2,3\}$を$S$とする．ただし$n$は正の整数である．

　両端が$S$の点であるような長さ$1$の線分の集合を$M$とする．

(1)　$M$の相異なる$m$本の元のえらび方は何通りあるか．

(2)　相異なる$(n+3)$本の$M$の元をえらぶとき，点$(0,0)$と点$(n,3)$とがこれらの線分でつながる確率を求めよ．

(3)　相異なる$(n+4)$本の$M$の元をえらぶとき，点$(0,0)$と点$(n,3)$とがこれらの線分でつながる確率を求めよ．

　たとえば$n=5\text{，}m=14$で次のような場合は，点$(0,0)$と点$(5,3)$とはつながっていると考える．