1989　大阪教育大学MathJax

【１】　$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$によって，点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(3,4)\text{，}\mathrm{C}(0,3)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$が三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$に写されたとする．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$を図示せよ．

(2)　$y$軸に平行な直線で三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$を切ったとき，それぞれの切りとられた線分の長さは等しいことを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積は等しいことを示せ．

(4)　$3$点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$を$1$次変換$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$で写すと，それぞれ${\mathrm{A}}^{″}({\displaystyle \frac{11}{5}},{\displaystyle \frac{4}{3}})\text{，}{\mathrm{B}}^{″}(13,5)\text{，}{\mathrm{C}}^{″}(6,3)$を得た．$m$の値を求めよ．

【２】　平面上の点$\mathrm{A}(x,y)$から直線$y=(\tan \theta )x$へひいた垂線の足を${\mathrm{A}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$とする．点$\mathrm{A}(x,y)$を点${\mathrm{A}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$へ写す$1$次変換を$f_{\theta }$とする．

　ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$f_{\theta }$による点$(1,0)$と$(0,1)$の像を求めよ．

(2)　$f_{\theta }$を表す行列$P_{\theta }$を求めよ．

(3)　${P_{\theta }}^2=P_{\theta }$を示せ．

(4)　$P=P_{\alpha }\text{，}Q=P_{\beta }$とおく．このとき，$PQP=kP$となる定数$k$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

(5)　(4)において，$\underset{n\to \infty }{\lim }{(PQ)}^n$を求めよ．ただし，行列の極限は各成分の極限を成分とする行列を意味する．

【３】　関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は，$0\leqq x\leqq 2$において，つねに$|f(x)|\leqq M$を満たすとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}M$は定数である．

(1)　各係数$a\text{，}b\text{，}c$を$f(0)\text{，}f(1)$および$f(2)$を用いて表せ．

(2)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は，$0\leqq x\leqq 2$において，つねに$|f^{\prime }(x)|\leqq 4M$を満たすことを示せ．

【４】　漸化式

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{13}}({a_n}^3-12)\text{，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$

によって与えられる数列$\{a_n\}$の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$は初項$a_1$に応じてどのように決まるか．

　$y={\displaystyle \frac{1}{13}}(x^3-12)$と$y=x$のグラフを利用して調べよ．

【５】　同種の$2$軒の店$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が並んでいる．客の数は$0$人である状態から始めて，$n$人の客が$1$人ずつ順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$いずれか一方の店を選んで入るものとし，出ることは考えない．

　各店を選ぶ確率の比は，$(\text{店にいる客の数})+1$の比に等しいものとする．

(1)　$\mathrm{A}$に$a$人，$\mathrm{B}$に$b$人いるとき，$a+b+1$番目の客が$\mathrm{A}$を選ぶ確率を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$n$人の客のうち，$k$人が$\mathrm{A}$に入る（したがって，$n-k$人は$\mathrm{B}$に入る）確率を$P_n(k)$とおく．このとき，$P_n(k)$を$P_{n-1}(k)$と$P_{n-1}(k-1)$で表せ．

(3)　$P_n(k)={\displaystyle \frac{1}{n+1}}$を$n$についての数学的帰納法によって証明せよ．ただし，$0\leqq k\leqq n$とする．

【２】　$4$次関数$f(x)=x^4+2p{x}^2+4qx$が極大値をもつような実数$p\text{，}q$の範囲を求めよ．

【３】　$3$点$(0,0,0)\text{，}(1,0,a)\text{，}(0,1,b)$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$の式を求めよ．

(2)　平面$\alpha$と$xy$平面とのなす角の余弦の値を求めよ．

(3)　$a=\sqrt{3}\text{，}b=1$のときの平面$\alpha$と球

${(x-\sqrt{6})}^2+{(y-\sqrt{2})}^2+{(z+\sqrt{2})}^2=35$

との交わりを$xy$平面に正射影して得られる楕円の長軸と短軸の長さ，焦点の座標を求めよ．