1989　神戸大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$をそれぞれ$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$で表す．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DC}$を$1:2$の比に内分する点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし，辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$を$2:3$の比に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{MN}$を$u:v$の比に内分する点を$\mathrm{E}$としたとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$および$u\text{，}v$を用いて表せ．ただし，$u>0\text{，}v>0$とする．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を$x:y$の比に内分する点を$\mathrm{F}$としたとき，$2$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$が一致するような，比$u:v$および$x:y$を求めよ．ただし，$x>0\text{，}y>0$とする．

【２】　$t$を実数として，$x$の関数$f(x)=(x-6)(x-3t)$を考える．$f^{\prime }(x)=0$の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすると，$\alpha \text{，}\beta$は$t$によって定まるから，それぞれ$t$の関数になる．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$t$の関数$g(t)={(t-\alpha )}^2+{(t-\beta )}^2+t^2$について，定積分${\displaystyle {\int }_0^2}g(t)dt$の値を求めよ．

(2)　$1\leqq t\leqq 3$のとき，$|6-\alpha |+|6-\beta |$の最小値を求めよ．

【３】　$3$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$および$h(x)$を，それぞれ

$f(x)=2^x\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(x-t)f(t)dt\text{，}h(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(x-t)g(t)dt+2{\displaystyle {\int }_0^x}g(x-t)g(t)dt$

とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$g(x)\text{，}h(x)$を求めよ．

(2)　$F(x)={\displaystyle \frac{h(x)}{f(x)}}$とするとき，曲線$y=F(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$a$を実数とする．$M=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ a& a\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$として，$A=M^2+3M+2E$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　行列$A$を$A=(M+2E)B$と表したとき，行列$B$を求めよ．

(2)　行列$A$はつねに逆行列$A^{-1}$をもつことを証明し，それを求めよ．

(3)　逆行列$A^{-1}$が$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}p& 0\\ 0& q\end{array}\right)$となるような$a$の値，およびそのときの$p\text{，}q$の値を求めよ．

【２】　長方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{BD}$に垂線をひき，$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{P}$とする．次に，点$\mathrm{P}$から辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$のそれぞれにひいた垂線の長さを$x\text{，}y$とする．対角線$\mathrm{BD}$の長さを$a\text{，}$線分$\mathrm{AP}$の長さを$z$とするとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{ADB}=\theta$とするとき，$x\text{，}y$を$a\text{，}\theta$で表せ．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta =t$とおくとき，$x+y+z$を$t$の式で表せ．

(3)　$a$が一定のとき，$x+y+z$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$k$を正の定数とする．すべての実数$x$で微分可能な関数$y=f(x)$が条件$f(x)=0$かつ$0<f^{\prime }(x)<k$を満たしているとき，次の各問いに答えよ．

(1)　この関数のグラフは，$y$軸の右側では$x$軸と直線$y=kx$との間にあることを証明せよ．

(2)　$0<k<1$のとき，数列$\{a_n\}$を正の数$a_1$からはじめて$a_n=f(a_{n-1})\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$で定める．そのとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$の袋には$1$と$-1$のカードが$1$枚ずつ，$\mathrm{B}$の袋には$0$と$1$のカードが$1$枚ずつ入っている．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の袋から，それぞれ$1$枚のカードを任意にとり出し，互いのカードを交換して袋にもどすという試行をくりかえす．いま，$n$回の試行の後，$\mathrm{A}$の袋の中に入っている$2$枚のカードの数の和が$k$になる確率を$P_n(k)$で表す．

　ただし，$n$は自然数とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$P_2(-1)\text{，}{P}_2(0)\text{，}{\mathrm{P}}_2(1)$および$P_2(2)$をそれぞれ求めよ．

(2)　$n\geqq 2$とするとき，$P_n(1)$を$P_{n-1}(-1)\text{，}{P}_{n-1}(0)\text{，}{P}_{n-1}(1)$および$P_{n-1}(2)$を使って表せ．

(3)　$P_n(1)$を求めよ．

【５】　すべての実数$x$で微分可能な$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$が，次の$\text{①}$，$\text{②}$を満たしているとする．

$\begin{array}{ll}f(x)=2g(x)+2e^{-x}\sin x+1+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt& \cdots \text{①}\\ g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}f(x)-2e^{-x}\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)dt& \cdots \text{②}\end{array}$

このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)-2g(x)=e^{2x}$が成立することを証明せよ．

(2)　$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．