1989　広島大学　Ａ日程，前期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& c\end{array}\right)$の表す$1$次変換$f$は，直線$f\text{：}y=x+1$を直線$l^{\prime }\text{：}y=-x+1$に移しているとする．

(1)　$b\text{，}c$を$a$で表せ．また，$f$が直線$l$を直線$l^{\prime }$全体に移すための$a$の条件を求めよ．

(2)　さらにこの$f$は各点と原点との距離を変えない変換とする．このような変換をすべて求め，それらを幾何学的な言葉で説明せよ．

理系

【２】　原点を中心とする半径$1$の球面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)$と，点$(0,1,0)$を中心とする半径$1$の球面上の点$\mathrm{Q}(0,1+\cos (\theta +\pi ),\sin (\theta +\pi ))$がある．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離を$d$とする．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$d$の最大値，最小値およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_1=1\text{，}{b}_1=0\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-3b_n\text{，}{b}_{n+1}=-a_n+2b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定め，これらを用いて，関数$f_n(x)=x^3+3a_n{x}^2+9{b_n}^{2}x+1$を定義する．

(1)　${a_n}^2-3{b_n}^2=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(2)　$f_n(x)$の極大値と極小値の差は$n$に無関係な定数であることを示し，その定数を求めよ．

【４】　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin h}{h}}=1$を既知として次の(1)，(2)を証明せよ．

(1)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-\cos h}{h^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

(2)　${(\sin x)}^{\prime }=\cos x\text{，}{(\cos x)}^{\prime }=-\sin x$

【５】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，その点における法線上（$\mathrm{P}$において接線と直交する直線上）の点$\mathrm{Q}(X,Y)$を，$\mathrm{PQ}=1\text{，}Y<y$となるようにとる．このとき$X\text{，}Y$は$x$の関数$X=f(X)\text{，}Y=g(x)$として表される．

(1)　$x$の関数$f(x)\text{，}g(x)$を具体的に求めよ．

(2)　次の等式が成立することを示せ．

$g^{\prime }(x)=x{f}^{\prime }(x)$

(3)　$x$を媒介変数とする曲線$X=f(x)\text{，}Y=g(x)\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の長さを$L$とし，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の長さを$l$とする．このとき$L-l$の値を求めよ．

【６】　各辺の長さが$1$の正方形の頂点を順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．これらの頂点から無作為に$1$つの頂点を選び出す試行を$n$回（$n\geqq 2$）独立にくり返す．この実験で重複を許して選ばれた$n$個の点のうち，最も離れている$2$点間の距離を確率変数$X_n$と定義する．

　例えば，$n=3$で選ばれた頂点が$(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})$のとき$X_3=\sqrt{2}$であり，$(\mathrm{D},\mathrm{D},\mathrm{D})$のとき$X_3=0$である．$X_n$が$0$となる確率を$p_n\text{，}1$となる確率を$q_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．

(1)　$p_2$と$q_2$を求めよ．

(2)　$X_n$の期待値を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(3)　$p_{n+1}$と$q_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(4)　$p_n$を$n$で表せ．

(5)　$r_n=4^{n-1}{q}_n$とおいて，$r_n$を$n$を用いて表せ．