1989　広島大学　後期教育（数）学部MathJax

【１】　座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,3)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$を頂点とする三角形の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{BG}$と$y$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{（}ad-bc\ne 0\text{）}$の表す$1$次変換$f$は，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{C}$に，直線$\mathrm{OG}$上の任意の点をその直線上の点にうつすという．

(1)　行列$A$を$a$を用いて表せ．

(2)　$1$次変換$f$による点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の像を${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$とするとき，三角形${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$が辺${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$を底辺とする二等辺三角形となるように$a$の値を定めよ．このとき，三角形$\mathrm{AOB}$と三角形${\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$とは相似であることを示せ．

【２】　原点を中心とする半径$2$の円と，$x$軸上に中心をもち，$y$軸に接する半径$n$（$n$は$1$より大きい自然数）の円との交点を${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$とする．三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$を$x$軸のまわりに回転してできる円すいの体積を$a_n$とする．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{k}^3{a}_k$を求めよ．

(3)　$a_n>a_{n+1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

【３】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos t)$における法線（すなわち，$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における接線と直交する直線）と$x$軸との交点を$\mathrm{N}$とする．また，座標が$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}({\displaystyle \frac{\pi }{2}},0)$である点を，それぞれ，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　曲線$C$と$2$直線$\mathrm{NB}\text{，}\mathrm{NP}$とで囲まれた部分の面積$S_1(t)$を求めよ．

(2)　曲線$C$と$2$直線$\mathrm{NA}\text{，}\mathrm{NP}$とで囲まれた部分の面積$S_2(t)$を求めよ．

(3)　$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1-2S_1(t)}{S_2(t)}}$を求めよ．

【４】　次の文章は，ある条件を満たすものが存在することを証明する際に，よく使われる「鳩の巣原理」（または，抽出し論法ともいう）を説明したものである：

　$m$個のものが，$n$個の箱にどのように分配されても，$m>n$であれば，$2$個以上のものが入っている箱が少なくとも$1$つ存在する．このことを鳩の巣原理という．

　たとえば，$3$つの整数が与えれたとき，その内の少なくとも$2$つは，ともに偶数であるか，または，ともに奇数である．なぜならば，$3$つの整数を偶数であるものと奇数であるものとの$2$組に分けると，鳩の巣原理（$m=3\text{，}n=2$）により，偶数の組または奇数の組に$2$つ以上の整数が入っているからである．

　この原理を用いて，次の命題(1)，(2)が成り立つことを証明せよ．ただし，証明はこの原理をどのように使ったかがよくわかるようにせよ．

(1)　$1$辺の長さが$2$の正三角形の内部に，任意に$5$個の点をとったとき，その内の$2$点で，距離が$1$より小さいののが少なくとも$1$組存在する．

(2)　座標空間で，その座標がすべて整数であるような点を格子点という．座標空間内に$9$個の格子点が与えられたとき，その内の$2$点で，中点がまた格子点であるものが少なくとも$1$組存在する，