1989　高知大学MathJax

【１】　$a_1=1\text{，}{a_{n+1}}^2=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{a_n}^2+4\text{（}{a}_n>0\text{，}n\geqq 1\text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle {\int }_a^x}(a^{2}t-t^3)dt$で定義する．

(1)　$f(x)$の極小値$k$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=k$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$X$を$2\times 2$の実数行列とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　${(X^4-E)}^2=O\text{，}{X}^3=E$を満たすような$X$は$X=E$だけであることを示せ．

(2)　${(X+E)}^2=O\text{，}{X}^3=E$を満たすような$X$は存在しないことを示せ．

【４】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$の円$S$の$1$つの直径$\mathrm{AB}$を固定する．円$S$上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，有向線分$\mathrm{AP}$の延長上に点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}$となるようにとる．

(1)　$\mathrm{P}$が$S$上を動くとき，$\mathrm{Q}$はどのような図形上を動くか．

(2)　$S$上に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{C}$を$1$つ固定し，線分$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{MQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RC}$を求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{P}$が$S$上を動くとき，$\mathrm{R}$はどのような図形上を動くか．

【１】　すべての実数$x\text{，}y$に対して不等式

$a(x^2+y^2)\leqq x^2+3xy+5y^2\leqq b(x^2+y^2)$

を満たす$a\text{，}b$のうち最大の$a$と最小の$b$を求めよ．

【２】　次の条件を満たす$4$次関数$f(x)$を考える．

$f(-1)=0\text{，}f(2)=0\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)dx=0$

(1)　$-1<x<2$の範囲で$f(x)=0$を満たす$x$が存在することを証明せよ．

(2)　さらに$f(0)=0\text{，}f(1)=4$を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

(3)　このとき${\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(x)dx$を求めよ．

【３】　$x\geqq 0$で定義された連続関数$f(x)$が不等式

$f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\leqq \cos x$

を満たしている．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}(e^{-x}{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt)\leqq e^{-x}\cos x$を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt\leqq e^x{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\cos tdt$を示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{-t}\cos tdt$を求めよ．

(4)　$f(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}(\sin x+\cos x+e^x)$を示せ．

【４】　赤，青，黄，緑の球がそれぞれ$4$個ずつ合計$16$個箱の中に入っている．

(1)　この箱の中から$3$個の球を取り出すとき，それらのうち$2$個だけ色が一致している確率を求めよ．

(2)　この箱の中から$4$個の球を取り出すとき，ちょうど$3$種類の色が現れる確率を求めよ．

【５】　座標空間において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,5,1)\text{，}$点$\mathrm{B}$の座標を$(6,5,-1)\text{，}$平面$\alpha$の方程式を$x+2y-z=5$とする．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のそれぞれから平面$\alpha$へおろした垂線の足$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の座標を求めよ．

(2)　直線$\mathrm{CD}$の方程式を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{CD}$上に長さ$\sqrt{14}$の線分$\mathrm{PQ}$をとる．このとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{QB}$の最小値を求めよ．

【６】　内側が光を反射する半径$1$の球面$S$がある．この球面の内部にある点$\mathrm{P}$から光を出すとして，$3$以上の整数$n$に対し点$\mathrm{P}$に関する次の条件を考える．

($C_n$)　$\mathrm{P}$から出て$S$上の点で何回か反射し$\mathrm{P}$に戻ってくる光の径路のうち，$n$個の反射点を頂点とする凸$n$角形となるものがある．

ここで，入射光と反射光を含む平面は球面$S$の中心$\mathrm{O}$を通り，この平面上で入射光と反射光は中心$\mathrm{O}$とこの反射点を結ぶ直線に関して対称となっている．

$E_n=\{\mathrm{P}|\text{点}\mathrm{P}\text{は条件(}{C}_n\text{)を満たす}\}$

とする．

(1)　$S$の中心$\mathrm{O}$を通る平面を$H$とする．点$\mathrm{P}$が$H$上にあるとき，条件($C_n$)中の凸$n$角形はどんな形か．

(2)　(1)の平面$H$に対し，$E_n\wedge H$はどんな図形か．

(3)　$E_n$の体積$V_n$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{V}_n$を求めよ．

【２】　$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\displaystyle \frac{n}{1^2+3n^2}}+{\displaystyle \frac{n}{2^2+3n^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{n}{n^2+3n^2}}\}$を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(1-2\sin 2t)dt$

で定義する．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．