1989　九州大学MathJax

【１】　空間内の点$\mathrm{O}$を中心とした半径$a\text{（}a>0\text{）}$の球面上に点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta \text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさが最小となるような$t$を$\theta$で表し，このベクトルの大きさを求めよ．

(2)　(1)で求めた$t$に対して，$\overrightarrow{{\mathrm{OB}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とおく．球面上の点$\mathrm{B}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$の大きさが$a$以下となるように動くとき，点${\mathrm{B}}^{\prime }$は空間内のどんな図形をえがくか．

【２】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，関数$f(x)$および行列$A$を

$f(x)=a{\cos }^{2}x+2b\cos x\sin x+c{\sin }^{2}x\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

とする．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$は$2$次方程式$t^2-(a+c)t+ac-b^2=0$の解で$\alpha \leqq \beta$であるとすると，関数$f(x)$の最小値は$\alpha$に等しく，最大値は$\beta$に等しいことを示せ．

(2)　行列$A$は$A^2=A$を満たすとする．このとき関数$f(x)$の最小値と最大値を求めよ．

【３】　$4$次多項式$f(x)=x^4+2x^3-3x^2$はある$1$次式$g(x)$をとると，$f(x)-g(x)$が

$f(x)-g(x)={(x-\alpha )}^2{(x-\beta )}^2\text{（}\alpha <\beta \text{）}$

と因数分解される．

(1)　$\alpha$と$\beta$および$g(x)$を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，直線$y=g(x)$との位置関係が明らかになるように曲線$y=f(x)$の概形をえがけ．ただし，極小値は求めなくてよい．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$君が所属する$n$人から成るあるクラブで，$k$人（$2\leqq k\leqq n$）のクラブ委員をくじ引きで選ぶことになった．くじ引きは$k$回行い，それぞれの回ではそれまでの回に委員として選ばれた人を除いて$1$人の委員を選ぶこととした．

(1)　$\mathrm{A}$さんがクラブ委員に選ばれない確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$さんも$\mathrm{B}$君も共にクラブ委員に選ばれない確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$さんも$\mathrm{B}$君も共にクラブ委員に選ばれる確率を求めよ．

【１】　関数$f(x)$は，$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)(f(t)-1)dt+{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすものとする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の凹凸および変曲点を調べ，概形をえがけ．

【３】(1)　$a>0\text{，}b>0$のとき，$2$曲線$y={\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}$と$y={\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{b}}$の交点の$x$座標で最小な正の値を求めよ．

(2)　$a>0$として，$4$曲線

$C_1\text{：}y={\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}\text{，}{C}_2\text{：}y={\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}\text{，}{C}_3\text{：}y={\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a+1}}\text{，}{C}_4\text{：}y={\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{a+1}}$

を考える．$p$を$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標で最小な正の値とし，$q$を$C_3$と$C_4$の交点の$x$座標で最小な正の値とするとき，$p\leqq x\leqq q$の範囲でこの$4$曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$m$枚の硬貨を同時に投げて，表が$k$枚でるとき$X=a^k\text{（}a>0\text{）}$とする．

(1)　確率変数$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$に対して，

${\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2^m{(1+a^2)}^m}{{(1+a)}^{2m}}}-1}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a$が，$a>0$の範囲を動くとき，${\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

【５】　ある公園に，同一地点$\mathrm{P}$を通る$1$周$1\mathrm{km}$のジョギングコース$\mathrm{A}$と$1$周$2\mathrm{km}$のジョギングコース$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$がある．

　各コースはそれぞれ定められた方向にのみ走るものとして，$\mathrm{P}$を出発点とし$\mathrm{P}$をゴールとする$n\mathrm{km}$のコースを考え，$n\mathrm{km}$コースの総数を$f_n$とする．

(1)　$2$次方程式$t^2-t-2=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とし，$g_n=f_n-\alpha f_{n-1}$とおくと，$n\geqq 2$のとき$g_{n+1}=\beta g_n$が成り立つことを示せ．

(2)　$f_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log f_n}{n}}$を求めよ．