1989　東京都立大MathJax

【１】　関数$f(x)=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$について次の問いに答えよ．

(1)　a$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=k$の実数解の個数は$k$の値によってどのように変わるか調べよ．

【２】　$2$つの行列についてその積を次のように定める．

$\left(\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& d_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ c_2& d_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_1{a}_2& b_1{b}_2\\ c_1{c}_2& d_1{d}_2\end{array}\right)$

なお，和は通常と同じものとする．さらに，$4$つの行列を

$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}x+y& x+y+z\\ x+y+z& x-y\end{array}\right)$

とする．このとき

$A{X}^2+BX+C=O$

を満たす$(x,y,z)$の組をすべて求めよ．

【３】　横に$2$個，縦に$n$個，あわせて$2n$個のます目を考える．たとえば，$n=4$のときは右の図のようなます目になる．このます目に○印と×印を入れる．ただし，×印は横にも縦にも続いていれることはない．このような○，×印の入れ方の総数を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2$と$a_3$を求めよ．

(2)　すべての$n$について

$a_{n+2}=c{a}_{n+1}+d{a}_n$

となるような定数$c\text{，}d$を求めよ．

【４】　$0\leqq a\leqq 2\text{，}$また

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|3x^2-3ax|dx$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(a)$を求めよ．

(2)　$f(a)$の最大値を求めよ．

【１】　空間内に原点$\mathrm{O}=(0,0,0)$と$3$点$\mathrm{A}=(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}=(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}=(0,0,3)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　$4$面体$\mathrm{OABC}$に内接する球$S$の中心$\mathrm{K}$と半径$r$を求めよ．

(2)　平面$\alpha$は原点$\mathrm{O}$からの距離が${\displaystyle \frac{1}{3}}$で平面$\mathrm{ABC}$と垂直に交わり，さらに$S$に接するものとする．$\alpha$の方程式を求めよ．

【２】　座標平面上に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．この平面上の$1$次変換$f$はその行列が零行列でなく，さらに次の関係式

$f^2(\overrightarrow{\mathrm{OP}})=f(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})\text{，}$$f^2(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})=8f(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})-15f(\overrightarrow{\mathrm{OP}})$

を満たすものとする．次の問いに答えよ．

(1)

$f^3(\overrightarrow{\mathrm{OP}})=a{f}^2(\overrightarrow{\mathrm{OP}})+bf(\overrightarrow{\mathrm{OP}})\text{，}$$f^3(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})=a{f}^2(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})+bf(\overrightarrow{\mathrm{OQ}})$

を満たす$1$組の定数$a\text{，}b$を求めよ．

(2)

$f^2(\overrightarrow{\mathrm{OX}})=cf(\overrightarrow{\mathrm{OX}})+d\overrightarrow{\mathrm{OX}}$

が各点$\mathrm{X}$について成立するような定数$c\text{，}d$を求めよ．

【３】　$2$つの関数

$f(x)=3x^3-5x^2-3x+8\text{，}g(x)=|3x|$

について，各$x$で$f(x)$と$g(x)$の大きな方の値を$h(x)$とおく．このとき，関数$h(x)$の極大，極小を与える$x$の値を求めよ．

【４】(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}x\sin xdx$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{(n+1)}^2}}{\displaystyle {\int }_0^{2n\pi }}x|\sin x|dx$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

【５】　閉区間$[0,a]\text{（}a>0\text{）}$のすべての値をとる確率変数$X$の確率密度関数を$f(x)=b(4-x)x$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$X$の平均値が${\displaystyle \frac{a}{2}}$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$t$の方程式$4t^2-12t+9(X-1)=0$の$2$つの解がともに正となる$X$の確率を求めよ．