1989　横浜市立大MathJax

【１】　次の(1)から(5)に適する数式または数値を記せ．

　$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲の角で，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{5}}$であるようなものとする．直線$y=x+2$を$l$とし，$l$の上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を原点$\mathrm{O}(0,0)$のまわりに角$\theta$だけ回転した点を${\mathrm{Q}}_n({x_n}^{\prime },{y_n}^{\prime })$とする．${x_n}^{\prime }\text{，}{y_n}^{\prime }$は$x_n$によってそれぞれ，${x_n}^{\prime }=\boxed{\text{(1)}}\text{，}{y_n}^{\prime }=\boxed{\text{(2)}}$と表される．${\mathrm{Q}}_n$から$l$に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})$とすると，$x_{n+1}\text{，}{y}_{n+1}$は$x_n$によってそれぞれ$x_{n+1}=\boxed{\text{(3)}}\text{，}{y}_{n+1}=\boxed{\text{(4)}}$と表される．点${\mathrm{P}}_1(1,3)$から出発して，${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$をこのようにして定めると$x_n=\boxed{\text{(6)}}$となる．

【２】　次の(1)から(5)に適する数式または数値を記せ．

　空間に原点$\mathrm{O}(0,0,0)$と$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2p,2p^2-1)$がある．点$\mathrm{P}(t,0,0)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$を通る平面$x=t$と，線分$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{(1)}}$で，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離は$\boxed{\text{(2)}}$である．折れ線$\mathrm{ABCO}$を$x$軸のまわりに回転したときにできる曲面によって囲まれた立体の体積$V$は$\boxed{\text{(3)}}$である．$V$を最小にする$p$の値は$\boxed{\text{(4)}}$で，そのときの$V$の値は$\boxed{\text{(5)}}$である．

【３】　$2$つの円

$x^2+y^2=4\text{，}{(x-4)}^2+y^2=1$

からの距離が等しい点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求め，図示せよ．ただし円から点$\mathrm{P}$への距離とは，その円の上の点と$\mathrm{P}$との距離の最小値のことである．

【４】　次の$2$つの条件を満たす$2\times 2$行列$P$と$Q$を求めよ．

(ⅰ)　$P^2=P\text{，}P+Q=E$ただし$E$は単位行列を表す．

(ⅱ)　$P$の定める$1$次変換は，直線$y=lx$をそれ自身にうつし，$Q$の定める$1$次変換は，直線$y=mx$をそれ自身にうつす．ただし$l\ne m$とする．

【１】　点$\mathrm{A}(2,3,2)$を通り，方向ベクトル$\overrightarrow{l}=(1,0,1)$の直線を$l\text{，}$原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を通り，方向ベクトル$\overrightarrow{m}=(1,a,-1)$の直線を$m$とする．点$\mathrm{P}$が$l$上を動き，点$\mathrm{Q}$が$m$上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の距離が最小となるような点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標，及び$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

【２】　行列$A_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が次の条件を満たしているとする．

$A_{n+2}={A_{n+1}}^2{A_n}^3\text{，}{A}_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 4\end{array}\right)\text{，}{A}_2=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -5& 2\end{array}\right)$

(1)　$A_3\text{，}{A}_4$を求めよ．

(2)　$A_n$を求めよ．

【３】　半径$1$中心$\mathrm{A}$の円$C_1$に，半径$r$中心$\mathrm{B}$の円$C_2$が外接している．頂点が$C_1$上にあり，底辺が$C_2$の弦となる二等辺三角形のうちで面積が最大となるものを考える．この三角形の底辺と点$\mathrm{B}$との距離を$x$としたとき，$x$を$r$で表せ．

【１】　空間の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が次の条件を満たしながら動く．

(a)　$\mathrm{P}$は$x$軸上の正の部分にある．

(b)　$\mathrm{R}$は$xz$平面内の直線$z=x$上にあり，線分$\mathrm{PR}$は$z$軸に平行である．

(c)　$\mathrm{R}$は$xy$平面内にあり，線分$\mathrm{PR}$は$y$軸に平行である．ただし，$\mathrm{R}$の$y$座標は負でないとする．

(d)　$\mathrm{QR}=1$

　このとき，

(1)　三角形$\mathrm{PQR}$が動いてできる立体の体積を求めよ．

(2)　(1)でできた立体を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

【２】　$3$人の人がジャンケンによって，$1$人だけ勝者を決めたい．$3$人は，それぞれ，グー，チョキ，パーを同じ確率で出すとする．あいこの場合は，もう一度ジャンケンをし，$2$人が勝った場合には，その$2$人でジャンケンをする．

(1)　$1$回目のジャンケンで，$2$人が勝つ確率を求めよ．

(2)　$2$回ジャンケンをしても，まだ勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

(3)　$n$回ジャンケンを続けても，勝者が$1$人に決まらない確率を求めよ．

【３】　次の式を満たす数列$\{x_n\}$を考える．

$x_{n+2}=-a{x}_{n+1}+2a^2{x}_n\text{（}n\geqq 1\text{，}a\ne 0\text{）}$

$x_1=1\text{，}{x}_2=b$

このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$となるための$a\text{，}b$に対する必要十分条件を求めよ．