1989　名古屋市立大　B日程MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}2& a\\ 0& 1\end{array}\right)$で表される$1$次変換によって，点$(3,1)$を通る直線$l$が同一の点$(3,1)$を通り$l$に直交する直線に変換された．このとき，$a$の値と直線$l$の方程式を求めよ．

【２】　次の$2$つの不等式を共に満たす領域の面積を求めよ．

$y<3(x^3-x)$

$y>2(x^4-x)$

【３】　点$\mathrm{P}$は直線$y=x$上を西南に，点$\mathrm{Q}$は直線$y=-x$上を東南に一定の速さ$1$で動いている．時刻を$t$で表す（$-\infty <t<\infty$）．$t=0$のとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$はそれぞれ点$\mathrm{A}(1,1)$と原点$\mathrm{O}(0,0)$の位置にある．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とを通る直線$l$が通らない範囲を図示せよ．

【４】　次の極限値を求めよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数，かつ$a>0$とする．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{d}{dx}}\sqrt{a{x}^2+2bx+c}$

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^3{\displaystyle \frac{d^2}{{dx}^2}}\sqrt{a{x}^2+2bx+c}$

【５】　辺の長さが$h$および$2h$の長方形$\mathrm{ABCD}$と，これに図のように外接している正三角形$\mathrm{PQR}$がある（長方形の辺が三角形の辺上にある場合も含む）．$\angle \mathrm{BAQ}=\theta$とおく．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．

(1)　正三角形の一辺の長さ$y$を求めよ．

(2)　$y=L\sin (\theta +\alpha )$の形に変形したとき，$\alpha$が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$にとれることを示せ．

(3)　$y$の最小値を求めよ．

〜から$\setminus$〜へ	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$
$\mathrm{A}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$0$
$\mathrm{B}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\mathrm{C}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{3}}$
$\mathrm{D}$	$0$	$0$	$0$	$1$

【６】　図のような$4$つの部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$があり，$1$匹のねずみが$1$秒ごとに，表に与えられた確率で部屋を移動するものとする．たとえば，$\mathrm{B}$から$1$秒後に$\mathrm{A}$に移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

　はじめに$\mathrm{A}$にいたとして，次の確率を求めよ．

(1)　$3$秒後に$\mathrm{D}$にいない確率．

(2)　$4$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率．

(3)　$3$秒後までに少なくとも$1$回は$\mathrm{B}$にいたことがわかったとき，$4$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率．

【２】　辺の長さが$a$および$b$の長方形$\mathrm{ABCD}$と，これに図のように外接している正三角形$\mathrm{PQR}$がある（長方形の辺が三角形の辺上にある場合も含む）．$\angle \mathrm{BAQ}=\theta$とおく．ただし，${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．

(1)　正三角形の一辺の長さ$y$を求めよ．

(2)　$y$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　関数$y=f(x)=\log \sqrt{{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}}$の逆関数を$y=g(x)$とする．

(1)　$x>0$のとき，$f(x)>x$を証明せよ．

(2)　$y=g(x)$のグラフをかけ．

(3)　$y=g(x)\text{，}y=x\text{，}x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

〜から$\setminus$〜へ	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$
$\mathrm{A}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	$0$
$\mathrm{B}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	$0$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\mathrm{C}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	$0$	${\displaystyle \frac{2}{3}}$
$\mathrm{D}$	$0$	$0$	$0$	$1$

【４】　右図のように$4$つの部屋$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$があり，$1$匹のねずみが$1$秒ごとに，表に与えられた確率で部屋を移動するものとする．たとえば，$\mathrm{B}$から$1$秒後に$\mathrm{A}$に移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$である．

　はじめに$\mathrm{A}$にいたとして，次の問いに答えよ．

(1)　$4$秒後に$\mathrm{D}$にいる確率を求めよ．

(2)　$n$秒後に$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n\text{，}\mathrm{B}$にいる確率を$b_n\text{，}\mathrm{C}$にいる確率を$c_n$とし，$a_n\text{，}{b}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}$で表せ．

(3)　$b_n$を$n$の式で表せ．