1989　大阪市立大学MathJax

【１】　$A$を$2$次の正方行列とし，$E$を$2$次の単位行列とする．$E+A\text{，}E-A$のいずれもが逆行列をもたなければ，$A^2=E$であることを示せ．

【２】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(a,-2a-4)\text{，}\mathrm{B}(a+1,-2a-6)\text{，}\mathrm{C}(b,b+{\displaystyle \frac{1}{b}})$を原点とする三角形の面積を$S$とする．$a$がすべての実数，$b$がすべての正の実数の範囲で動くとき，$S$の最小値を求めよ．

【３】　平面上に球形のガスタンクが設置されている．その球面の接点を$\mathrm{P}$とする．その平面上の地点$\mathrm{A}$と，そこから$\mathrm{P}$に向かって距離$m$だけ進んだ地点$\mathrm{B}$において，それぞれの地点から見える球面上の最も高い点の仰角を測ったところ，$2\alpha$と$2\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であった．ガスタンクの半径$r$を$\tan \alpha$と$m$で表せ．ただし$\mathrm{PA}>\mathrm{PB}>r$とし，簡単のため眼の高さは$0$として計算せよ．

【４】　直線$y=a(x+5)$と曲線$y=-x^3+25x$が第$1$象限（$x>0\text{，}y>0$）において$2$つの異なる交点をもつとする．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$a=4$のとき，上の$2$つの交点を結ぶ線分と曲線で囲まれる図形の面積を求めよ．

【１】　$n$を正の整数とする．$n$以下の正の整数のうち，$8$で割った余りが$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$のいずれかとなるものの個数を$f(n)$とする．

(1)　$n$が$8$の倍数であるとき，$f(n)$を$n$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{f(n)}{n}}\geqq {\displaystyle \frac{8}{16}}$となる$n$をすべて求めよ．

【２】(1)　$A$を$2$次の正方行列で，逆行列をもつものとする．$E$を$2$次の単位行列とし，$X=E+A$とおく．このとき

$X+Y=XY=YX$

を満たす$2$次の正方行列$Y$が存在することを示せ．

(2)　$2$次の正方行列$S\text{，}T$が

$S+T=ST=TS$

を満たすとき，$S-E$は逆行列をもつことを示せ．

【３】　球面$x^2+y^2+z^2=2$と平面$x+y+z=2$の交わりを$S$とする．

(1)　$S$の中心の座標と半径を求めよ．

(2)　点$(0,0,-{\displaystyle \frac{10}{3}})$と$S$の中心を結ぶ線分が球面と交わる点の座標を求めよ．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}(-5,0)\text{，}\mathrm{C}(5,0)$がある．$\mathrm{A}$の$y$座標は正で，三角形$\mathrm{ABC}$は次のⅰ)，ⅱ)を満たすとする．

ⅰ)　${\displaystyle \frac{\cos C}{\cos B}}={\displaystyle \frac{\sin B}{\sin C}}$

ⅱ)　$25\sin (B-C)=7$

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを示し，$\cos C$を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心の座標を求めよ．

【５】　関数$f(x)=(ax+b)e^{-cx}$は$x=-2$で極値をとり，点$(-1,f(-1))$は曲線$y=f(x)$の変曲点であるとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は正の定数で，$e$は自然対数の底である．

(1)　$c$の値を求め，$b$を$a$で表せ．

(2)　$f(x)$とその不定積分$F(x)$が等式

$\underset{h\to a}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}\{f(3h)-f(0)-F(2h)+F(0)\}=-24$

を満たすとき，$a\text{，}b$の値を求め，${\displaystyle {\int }_{-2}^0}f(x)dx$を計算せよ．