1989　大阪府立大学　A日程MathJax

【１】　だ円${\displaystyle \frac{x^2}{25}}+{\displaystyle \frac{y^2}{49}}=1$上の点$\mathrm{P}(s,t)$における接線と$x$軸と$y$軸とでできる三角形の面積の最小値を求めよ．

【２】　$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{a}_{n-1}+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．${\displaystyle \frac{1}{n}}{a}_n\geqq {10}^{-50}$であるような$a_n$の総和を求めよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$2$つの関数$y=\sin x\text{，}y=\sin (x+{\displaystyle \frac{k}{n}}\pi )$のグラフと$y$軸で囲まれる部分の面積を$I_k$とする．ただし，$n$は自然数で，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{I}_k$の値を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって定まる$xy$平面上の$1$次変換が，$3$点$\mathrm{P}(2,0)\text{，}\mathrm{Q}(1,1)\text{，}\mathrm{R}(0,1)$をそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$に移すものとする．次の$3$つの条件を同時に満たすような行列$A$をすべて求めよ．

(ⅰ)　${\mathrm{Q}}^{\prime }=\mathrm{Q}$

(ⅱ)　点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$は$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$を通る直線上にある．

(ⅲ)　${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }=\sqrt{2}{\mathrm{R}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$

【５】　$x$の関数$f(x)={\displaystyle {\int }_c^x}(t^2+at+b)dt$は$x=-1$と$x=2$で極値をとり，$f(0)={\displaystyle \frac{10}{3}}$である．$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【６】　$x\geqq 1$で定義されている関数$f(x)$と$g(x)$がある．

　点$\mathrm{P}(t,f(t))$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．点$\mathrm{Q}(t,g(t))$における曲線$y=g(x)$の接線と法線をそれぞれ$m\text{，}n$とする．このとき，条件

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)>1\text{，}{g}^{\prime }(x)>0\text{，}$

(ⅱ)　$l\text{，}m\text{，}n$はつねに二等辺三角形をつくる．

が満たされるものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$g^{\prime }(x)$を$f^{\prime }(x)$であらわせ．

(2)　$f(x)=x^3+2x^2$とする．$g(1)=1$となる$g(x)$を求めよ．