1989　大阪府立大学　C日程　工学部MathJax

【１】(1)　次の微分方程式を（　　）内の初期条件のもとで解け．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1+y}{1+e^{-x}}}$（$x=0$のとき$y=2$）

【１】(2)　$0$から$9$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードがある．異なるカードには異なる数字が書かれている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出したとき，それに記入されている数のうち最大数を$a\text{，}$最小数を$b$とする．

　このとき$a-b\leqq 3$となる確率$P$を求めよ．

【１】(3)　第$n$項が$a^n\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}\text{（}a\ne 1\text{）}$で表される数列の第$1$項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$S_{4n}$を求めよ．

【２】　$1$次変換$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$により，曲線$C\text{：}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$の上の点が，すべてある直線$l$上の点に移る．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が曲線$C$上を動くとき，$X$のとりうる値の範囲を求めよ．

（(1)，(2)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^{2n+1}+a{x}^2+bx+1}{x^{2n}+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$がすべての実数$x$に対して連続となるように$a\text{，}b$の値を定めよ．

(2)　$a\text{，}b$は(1)で定めた値をとるものとする．曲線$y=f(x)\text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{）}$を$xy$平面内で原点のまわりに負の向きに$45\mathrm{°}$（すなわち$-45\mathrm{°}$）回転させる．このようにして得られる曲線の方程式を$y=g(x)$とするとき，$g(x)$とその定義域を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）