1990　大学入試センター試験　本試験　数学IMathJax

【１】

〔１〕　整式$P(x)$は次の条件(A)，(B)を満たすものとする．

• (A)　$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ると，余りは$65x-68$である．
• (B)　$P(x)$を$x^2+6x-7$で割ると，余りは$\mathrm{-5}x+a$である．

　このとき，$a=\boxed{\text{ア}}$であることがわかる．

　$P(x)$を$x^2+4x-21$で割ったときの余り$bx+c$を求めよう．

• 条件(A)より$\boxed{\text{イ}}b+c=\boxed{\text{ウエオ}}$，
• $a=\boxed{\text{ア}}$と条件(B)より$\boxed{\text{カキ}}b+c=\boxed{\text{クケ}}$

である．したがって，$b=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{サシス}}$である．

【１】

〔２〕　次の文中の$\boxed{}$の中に入れるのに適当な語句を，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから選べ．

(1)　集合$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$について，$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}=\mathrm{A}$は$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\mathrm{B}$であるための$\boxed{\text{セ}}$．

(2)　整数$n$について，$n^2$が$12$の倍数であることは，$n$が$12$の倍数であるための$\boxed{\text{ソ}}$．

(3)　三角形$T$の内接円の中心と外接円の中心が一致することは，$T$が正三角形であるための$\boxed{\text{タ}}$．

(4)　実数$a\text{，}b\text{，}c$について，$|a+b+c|=\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|$は$ab+bc+ca\geqq 0$であるための$\boxed{\text{チ}}$．

• $\overline{)\text{1}}$　必要十分条件である
• $\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない
• $\overline{)\text{3}}$　十分条件であるが，必要条件ではない
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない

【２】　$a$を定数として，放物線$C_a:y=-x^2+ax+a^2$を考える．

(1)　放物線$C_a$の頂点の座標は

${\displaystyle (\frac{a}{\boxed{\text{ア}}},\frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}{a}^2)}$

であるから，頂点は曲線$y=\boxed{\text{エ}}{x}^2$上にある．

(2)　座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(\mathrm{-1},1)\text{，}$$\mathrm{B}(2,4)$を通る直線を$l$とする．

　放物線$C_a$が直線$l$と共有点をもつための$a$の範囲は

$a\leqq \boxed{\text{オカ}}\text{，}$$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．$C_a$と$l$の共有点の座標は，$a=\boxed{\text{オカ}}$のとき$(\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}})\text{，}$$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}},\frac{\boxed{\text{セソ}}}{\boxed{\text{タ}}})}$である．

　また，$C_a$と線分$\mathrm{AB}$が異なる$2$点を共有するための$a$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}<a\leqq \boxed{\text{テ}}$

である．

【３】　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)\text{，}$$\mathrm{C}(2,1)$を頂点とする$▵\mathrm{ABC}$を考える．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心は${\displaystyle (\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}})}$であり，半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$である．

　また，$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{コ}}$ である．このことから，$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は

${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

であることがわかる．

(2)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の辺上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$との距離の最大値は$\boxed{\text{ソ}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{タチ}}}}}$である．