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1990 大学入試センター試験 追試

数学I

配点30点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】  3 次の整式 f (x) g (x ) が次の式で与えられているとする.

  f( x) g (x) の最小公倍数で最高次の係数が 1 であるものを h (x ) とする.

(1)  x2 +3x +2 f (x ) の約数であるとき, a b c を用いて

a= c+ b = c+

と表される.

(2)  x2 +3x +2 f (x) g (x) の最大公約数であるとき, h( x) の次数は であり, h( x) の定数項を d とすると,

cr= d

が成り立つ.

 特に, d=4 で, a b c p q r がすべて整数で, 0<c< r を満たすときには,

c= r =

となり,

である.

1990 大学入試センター試験 追試

数学I

配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の 2 (1 ,3) (5 ,−13) を通る放物線

y=a x2+ bx+ c a0

C とする.このとき,

(1)  b c a で表すと,

b= アイ a c= a+

である.

(2) 放物線 C の頂点は, a を用いて,

( a+ , クケ a a )

である.

(3) 放物線 C が直線 l :4 x+y =15 とただ一つの共有点を持つのは a= シス のときであり,その点の座標は ( , ) である.

 また, a < タチ または a > のとき C l 2 点で交わり, タチ <a < のとき C l と交わらない.

(4) 放物線 C x 軸との交点を P Q とするとき,線分 PQ の長さを最小にする a の値は テト 長さの最小値は ニヌ である.

1990 大学入試センター試験 追試

数学I

配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の 2 (2 ,0) ( 10,0 ) をそれぞれ A B とする.

(1)  AP:BP =1: 3 であるような点 P の描く図形 S

中心 C ( , ) ,半径

の円である.

(2) 点 B を通る直線 l は, S 2 P Q B に近い方の点を P とする)で交わり, x 軸と一致しないとする.このとき,

CPQ: APQ= :

であるから, APQ の面積が最大になるのは, CPQ の面積が最大になるときである. CPQ = sin PCQ であるから, CPQ の面積の最大値は である.したがって, APQ の面積の最大値は である.

(3)  APQ の面積が最大になるとき, ABP= θ とおくと, sinθ = であるから, tanθ = 1 スセ である.このとき,

BP= ( チツ )

である.

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