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1990-10000-0301
1990 大学入試センター試験 追試
数学I
配点30点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】 3 次の整式 f⁡ (x) , g ⁡(x ) が次の式で与えられているとする.
f⁡( x) と g⁡ (x) の最小公倍数で最高次の係数が 1 であるものを h ⁡(x ) とする.
(1) x2 +3⁢x +2 が f⁡ (x ) の約数であるとき, a , b は c を用いて
a= ア イ ⁢ c+ ウ , b = エ オ ⁢ c+ カ
と表される.
(2) x2 +3⁢x +2 が f⁡ (x) と g⁡ (x) の最大公約数であるとき, h⁡( x) の次数は キ であり, h⁡( x) の定数項を d とすると,
c⁢r= ク ⁢ d
が成り立つ.
特に, d=4 で, a, b , c , p, q , r がすべて整数で, 0<c< r を満たすときには,
c= ケ , r = コ
となり,
である.
1990-10000-0302
配点35点
【2】 座標平面上の 2 点 (1 ,3) , (5 ,−13) を通る放物線
y=a⁢ x2+ b⁢x+ c( a≠0 )
を C とする.このとき,
(1) b , c を a で表すと,
b= アイ ⁢ a− ウ , c= エ ⁢ a+ オ
(2) 放物線 C の頂点は, a を用いて,
( カ a+ キ , クケ ⁢ a− コ − サ a )
(3) 放物線 C が直線 l :4 ⁢x+y =15 とただ一つの共有点を持つのは a= シス のときであり,その点の座標は ( セ , ソ ) である.
また, a < タチ または a > ツ のとき C は l と 2 点で交わり, タチ <a < ツ のとき C は l と交わらない.
(4) 放物線 C と x 軸との交点を P , Q とするとき,線分 PQ の長さを最小にする a の値は テト ナ , 長さの最小値は ニヌ ネ である.
1990-10000-0303
【3】 座標平面上の 2 点 (2 ,0) , ( 10,0 ) をそれぞれ A , B とする.
(1) AP:BP =1: 3 であるような点 P の描く図形 S は
中心 C ( ア , イ ) ,半径 ウ
の円である.
(2) 点 B を通る直線 l は, S と 2 点 P , Q ( B に近い方の点を P とする)で交わり, x 軸と一致しないとする.このとき,
▵CPQ: ▵APQ= エ : オ
であるから, ▵APQ の面積が最大になるのは, ▵CPQ の面積が最大になるときである. ▵CPQ = カ キ ⁢ sin⁡∠ PCQ であるから, ▵CPQ の面積の最大値は ク ケ である.したがって, ▵APQ の面積の最大値は コ である.
(3) ▵APQ の面積が最大になるとき, ∠ABP= θ とおくと, sin⁡θ = サ シ であるから, tan⁡θ = 1 スセ である.このとき,
BP= ソ タ ⁢ ( チツ − テ )